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3.2. Transformations de Lorentz
La procédure est la suivante : dans un premier temps 1 'horloge de référence située
en 0 envoie dans toutes les directions une brève impulsion qui est renvoyée vers
0 par un miroir situé en M . La mesure du temps t 1 d'aller-retour de l'impulsion
permet de déterminer la distance OM = ct 1 • Dans un deuxième temps l'horloge
située en 0 envoie vers M une impulsion à l'instant t = 0 de cette horloge. Cette
impulsion est reçue en M où l'opérateur «met à l'heure» son horloge en appelant
t = OM/c = ti/2 l'instant où il a reçu l'impulsion. Le fait de tenir ainsi compte
du temps de propagation du signal entre les différents points du référentiel permet
effectivement de définir un temps commun à tous les points du référentiel.
3.2.2 Transformation des coordonnées spatio-temporelles
dans un changement de référentiel galiléen
L'utilisation de règles identiques, d'horloges identiques dans deux référentiels galiléens
(section 1.2.1) dans ces deux référentiels. On appelle transformation de Lorentz la
transformation qui relie (t' ,x' ,y' ,z') à (t,x,y,z). Nous ne donnerons pas de démonstration de l' expression de cette transformation dans ce cours d' introduction. Elle doit
respecter le principe de relativité que nous venons d'énoncer ainsi que des propriétés plus générales, comme l'indépendance par rapport à l'origine des temps et des
coordonnées, ainsi que d'isotropie de l'espace.
Le principe de relativité implique que les équations de Maxwell de l' électrodynamique doivent avoir la même forme dans deux repères galiléens. On peut donc aussi
trouver les transformations de Lorentz en cherchant les transformations des coordonnées et des champs qui laissent invariantes les équations de Maxwell. C'est de cette
manière que Lorentz, avant Einstein, avait donné l'expression des équations 3 .1.
Pour simplifier leur écriture, nous nous placerons dans le cas où le référentiel
autres axes restant à tout instant parallèles (figure 1.1). L' origine des temps t = 0 est
prise à l'instant où les points 0 et O' coïncident. L'expression de la transformation
de Lorentz L x(V) est alors dans ce cas :
avec
,
(
Vx)
t =y t - c2
x' = y(x-Vt)
y'= y
z' = z
1
y = ---;::::=====
-../1 - V
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(3.1)
(3.2)
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La procédure est la suivante : dans un premier temps 1 'horloge de référence située
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permet de déterminer la distance OM = ct 1 • Dans un deuxième temps l'horloge
située en 0 envoie vers M une impulsion à l'instant t = 0 de cette horloge. Cette
impulsion est reçue en M où l'opérateur «met à l'heure» son horloge en appelant
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du temps de propagation du signal entre les différents points du référentiel permet
effectivement de définir un temps commun à tous les points du référentiel.
3.2.2 Transformation des coordonnées spatio-temporelles
dans un changement de référentiel galiléen
L'utilisation de règles identiques, d'horloges identiques dans deux référentiels galiléens
(section 1.2.1) dans ces deux référentiels. On appelle transformation de Lorentz la
transformation qui relie (t' ,x' ,y' ,z') à (t,x,y,z). Nous ne donnerons pas de démonstration de l' expression de cette transformation dans ce cours d' introduction. Elle doit
respecter le principe de relativité que nous venons d'énoncer ainsi que des propriétés plus générales, comme l'indépendance par rapport à l'origine des temps et des
coordonnées, ainsi que d'isotropie de l'espace.
Le principe de relativité implique que les équations de Maxwell de l' électrodynamique doivent avoir la même forme dans deux repères galiléens. On peut donc aussi
trouver les transformations de Lorentz en cherchant les transformations des coordonnées et des champs qui laissent invariantes les équations de Maxwell. C'est de cette
manière que Lorentz, avant Einstein, avait donné l'expression des équations 3 .1.
Pour simplifier leur écriture, nous nous placerons dans le cas où le référentiel
autres axes restant à tout instant parallèles (figure 1.1). L' origine des temps t = 0 est
prise à l'instant où les points 0 et O' coïncident. L'expression de la transformation
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