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Introduction à la physique moderne
m Évolution quantique et facteur de phase relatif
On considère une particule libre de masse m se propageant dans la direction Ox. On
appelle E son énergie totale, égale dans ce cas à son énergie cinétique. On appelle
li/JE) l' état quantique de la particule d ' énergie E et l/Je(x) = (xll/JE) la fonction d'onde
associée.
a) Rappeler l'expression d ' une onde classique réelle plane A(x,t) se propageant
dans la direction Ox de vecteur d'onde k et de pulsation w. Donner l'expression
complexe de la même onde, telle que A(x,t) = ~(A(x,t)), ~désignant la partie
réelle (on donnera l'expression où le coefficient de test imaginaire négatif).
b) On fait l'hypothèse que la fonction d' onde l/f(x,t) décrivant la particule libre
est identique à l' expression complexe A(x,t) de l' onde associée trouvée dans
la question précédente. Rappeler les deux relations exprimant la dualité ondecorpuscule reliant vecteur d ' onde et pulsation de l'onde à quantité de mouvement p et énergie E de la particule. Donner 1 'expression reliant E et p pour
une particule libre classique. En déduire la relation liant pulsation et quantité de
mouvement pour 1 'onde associée.
c) Montrer qu'on a pour la fonction d' onde t/tE(x ,t) décrivant une particule d ' énergie E : l/J E(x,t) = e-iEt/1îl/J E(x ,O). En déduire que si à l' instant t = 0 la particule
est décrite par le vecteur d'état li/JE), elle sera à tout instant ultérieur t décrite
par le vecteur d ' état 11/fe(t)) = e- iEt/1î li/JE).
d) On suppose que la particule se trouve à l'instant t = 0 décrite par la fonction
d ' onde:
1
l/Jo(x) = Yl(l/Je, (x ,O) + l/Je 2 (x,O))
avec E1 * E2. Donner l'expression de l/Jo(x ,t).
e) Calculer la probabilité de présence de la particule en un point x à tout instant t.
Montrer que celle-ci évolue périodiquement. Exprimer la période en fonction
de E 1 , E2 et n .
f) On fait à l'instant t une mesure de l' énergie de la particule décrite par la fonction
d'onde l/Jo(x ,t). Quels sont les résultats possibles, et avec quelle probabilité ?
Ces résultats dépendent-ils du temps ?
fi) Boîte quantique, effet de recul et horloge atomique
On considère, dans ce problème, un système physique S de masse totale M dont
on supposera qu' il peut se déplacer librement selon l'axe (Ox) d'un référentiel Galiléen
278
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m Évolution quantique et facteur de phase relatif
On considère une particule libre de masse m se propageant dans la direction Ox. On
appelle E son énergie totale, égale dans ce cas à son énergie cinétique. On appelle
li/JE) l' état quantique de la particule d ' énergie E et l/Je(x) = (xll/JE) la fonction d'onde
associée.
a) Rappeler l'expression d ' une onde classique réelle plane A(x,t) se propageant
dans la direction Ox de vecteur d'onde k et de pulsation w. Donner l'expression
complexe de la même onde, telle que A(x,t) = ~(A(x,t)), ~désignant la partie
réelle (on donnera l'expression où le coefficient de test imaginaire négatif).
b) On fait l'hypothèse que la fonction d' onde l/f(x,t) décrivant la particule libre
est identique à l' expression complexe A(x,t) de l' onde associée trouvée dans
la question précédente. Rappeler les deux relations exprimant la dualité ondecorpuscule reliant vecteur d ' onde et pulsation de l'onde à quantité de mouvement p et énergie E de la particule. Donner 1 'expression reliant E et p pour
une particule libre classique. En déduire la relation liant pulsation et quantité de
mouvement pour 1 'onde associée.
c) Montrer qu'on a pour la fonction d' onde t/tE(x ,t) décrivant une particule d ' énergie E : l/J E(x,t) = e-iEt/1îl/J E(x ,O). En déduire que si à l' instant t = 0 la particule
est décrite par le vecteur d'état li/JE), elle sera à tout instant ultérieur t décrite
par le vecteur d ' état 11/fe(t)) = e- iEt/1î li/JE).
d) On suppose que la particule se trouve à l'instant t = 0 décrite par la fonction
d ' onde:
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l/Jo(x) = Yl(l/Je, (x ,O) + l/Je 2 (x,O))
avec E1 * E2. Donner l'expression de l/Jo(x ,t).
e) Calculer la probabilité de présence de la particule en un point x à tout instant t.
Montrer que celle-ci évolue périodiquement. Exprimer la période en fonction
de E 1 , E2 et n .
f) On fait à l'instant t une mesure de l' énergie de la particule décrite par la fonction
d'onde l/Jo(x ,t). Quels sont les résultats possibles, et avec quelle probabilité ?
Ces résultats dépendent-ils du temps ?
fi) Boîte quantique, effet de recul et horloge atomique
On considère, dans ce problème, un système physique S de masse totale M dont
on supposera qu' il peut se déplacer librement selon l'axe (Ox) d'un référentiel Galiléen
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