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Exercices et problèmes
c) Les valeurs moyennes (x) et (p) étant nulles, on peut écrire que ~x = ...[(Ji) et
~p = M. En déduire d'après la relation de la question b que:
1ï2
(p2) ;:::: 4(x2)
d) Écrire alors la valeur moyenne de l'énergie totale (E(x,p)) en fonction de (x
2 )
et (p 2 ). Montrer que cette énergie possède une valeur minimale, Emin, que l'on
expnmera.
e) On peut montrer que, au minimum de l'énergie, on a (x
2 ) = - 2 -n . Déterminer
mw
l'expression du minimum de l'énergie totale moyenne de l'électron Emin · Faire
l'application numérique en Jet en eV.
En réalité, l'énergie totale accessible par l'électron est quantifiée dans le potentiel harmonique. Les énergies de l'électron sont données par En = 1ïw(n + ~),
avec n un entier naturel. L'état propre associé à chaque énergie En est représenté
par le ket ln).
f) On prépare l'électron dans une superposition d' états l cf>) = a 10) + b Il ), avec a
et b deux réels positifs. À quelle relation doivent obéir ces coefficients a et b ?
g) Si l'on fait une mesure unique de l'énergie du système, peut-on mesurer ~ 1ïw ?
h) Un ensemble de mesures de l'énergie montrent que l'on a quatre fois plus de
chances de mesurer E 0 que E 1 . En utilisant la réponse de la question f, déterminer les valeurs des coefficients a et b.
i) Donner alors l' énergie moyenne E moy du système en fonction de 1ï et de w. Faire
l'application numérique en eV.
À chaque état ln) on peut associer une fonction d' onde lf!n(x) qui est reliée à
la position de la particule dans l'état considéré. Pour l'état fondamental 10), la
fonction d'onde associée à 1' électron est :
où A est un paramètre indépendant de x.
j) On se place dans l'état 10). Écrire la probabilité P de trouver la particule entre
deux positions x1 et x2.
k) Selon vous, cette probabilité évolue-t-elle avec le temps? Justifier.
1) Pour x i = - oo et x2 = + oo, que doit obligatoirement valoir cette probabilité P ?
m) En déduire une expression du coefficient A.
On donne:
l
+oo
~
e- ax2 dx =
-
OO
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277
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d) Écrire alors la valeur moyenne de l'énergie totale (E(x,p)) en fonction de (x
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e) On peut montrer que, au minimum de l'énergie, on a (x
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l'application numérique en Jet en eV.
En réalité, l'énergie totale accessible par l'électron est quantifiée dans le potentiel harmonique. Les énergies de l'électron sont données par En = 1ïw(n + ~),
avec n un entier naturel. L'état propre associé à chaque énergie En est représenté
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f) On prépare l'électron dans une superposition d' états l cf>) = a 10) + b Il ), avec a
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g) Si l'on fait une mesure unique de l'énergie du système, peut-on mesurer ~ 1ïw ?
h) Un ensemble de mesures de l'énergie montrent que l'on a quatre fois plus de
chances de mesurer E 0 que E 1 . En utilisant la réponse de la question f, déterminer les valeurs des coefficients a et b.
i) Donner alors l' énergie moyenne E moy du système en fonction de 1ï et de w. Faire
l'application numérique en eV.
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la position de la particule dans l'état considéré. Pour l'état fondamental 10), la
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où A est un paramètre indépendant de x.
j) On se place dans l'état 10). Écrire la probabilité P de trouver la particule entre
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k) Selon vous, cette probabilité évolue-t-elle avec le temps? Justifier.
1) Pour x i = - oo et x2 = + oo, que doit obligatoirement valoir cette probabilité P ?
m) En déduire une expression du coefficient A.
On donne:
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