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Introduction à la physique moderne
a) Question préliminaire : dans le cas où les vecteurs d'état 10) et 11) représentent
les états de polarisation horizontal et vertical de photons polarisés, quelles sont
les directions de polarisation des états la) et lb)?
b) Exprimer l'état des deux qubits lab) = la) lb) en fonction des états 100), 101),
110), 111) (où le premier chiffre représente l'état du qubit a et le second chiffre
celui du qubit b), en utilisant la linéarité de l'espace de Hilbert des états de deux
qubits.
c) Dans une mesure du système dans l'état lab), quelle est la probabilité :
1. que le qubit a ait la valeur 0 et le qubit b la valeur 1 ?
2. que le qubit a ait la valeur 0 ?
3. que les deux qubits aient des valeurs différentes?
d) La réalisation d'un calcul informatique nécessite de définir des «opérations
logiques ». Un exemple important d'opération logique est la porte cNOT
(controlled-NOT) qui agit sur un ensemble de deux qubits, le premier servant
de « qubit de contrôle » pour changer, de façon conditionnelle, le second qubit,
appelé « qubit cible » . L'opération est simple : si le qubit de contrôle ( « a » dans
notre cas) est dans l'état 10), le qubit cible(« b »dans notre cas) n'est pas modifié ; par contre, si le qubit de contrôle est dans l'état 11), le qubit cible change
d'état. Par exemple:
cNOT 110) = 111)
1. Exprimer l'état cNOT lab) en fonction des états 100), 101), 110), 111).
2. Dans une mesure du système dans l'état cNOT lab), quelle est la probabilité que les deux qubits aient des valeurs différentes ?
œ Particule dans un piège harmonique
On considère un électron, de masse m et de quantité de mouvement p, piégé dans un
potentiel de type oscillateur harmonique. En mécanique classique, on peut montrer
que 1 'énergie potentielle de 1' électron en fonction de sa position x est donnée par
Ep(x) = ~mw
2
x
2
, avec w la pulsation propre de l' oscillateur .
On donne n = I.10- 34 1 .s.rad- 1 , w = 6,4.10 8 rad.s- 1 et e = l,6.10- 19 c
On cherche dans un premier temps à déterminer quelle est 1 'énergie minimale, en
mécanique quantique, que peut prendre l'électron dans ce potentiel.
276
a) Écrire l' énergie totale E(x,p) de l'électron en fonction de w, m, x et p.
b) Écrire la relation d'incertitude de Heisenberg Position-Quantité de mouvement
à une dimension.
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a) Question préliminaire : dans le cas où les vecteurs d'état 10) et 11) représentent
les états de polarisation horizontal et vertical de photons polarisés, quelles sont
les directions de polarisation des états la) et lb)?
b) Exprimer l'état des deux qubits lab) = la) lb) en fonction des états 100), 101),
110), 111) (où le premier chiffre représente l'état du qubit a et le second chiffre
celui du qubit b), en utilisant la linéarité de l'espace de Hilbert des états de deux
qubits.
c) Dans une mesure du système dans l'état lab), quelle est la probabilité :
1. que le qubit a ait la valeur 0 et le qubit b la valeur 1 ?
2. que le qubit a ait la valeur 0 ?
3. que les deux qubits aient des valeurs différentes?
d) La réalisation d'un calcul informatique nécessite de définir des «opérations
logiques ». Un exemple important d'opération logique est la porte cNOT
(controlled-NOT) qui agit sur un ensemble de deux qubits, le premier servant
de « qubit de contrôle » pour changer, de façon conditionnelle, le second qubit,
appelé « qubit cible » . L'opération est simple : si le qubit de contrôle ( « a » dans
notre cas) est dans l'état 10), le qubit cible(« b »dans notre cas) n'est pas modifié ; par contre, si le qubit de contrôle est dans l'état 11), le qubit cible change
d'état. Par exemple:
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1. Exprimer l'état cNOT lab) en fonction des états 100), 101), 110), 111).
2. Dans une mesure du système dans l'état cNOT lab), quelle est la probabilité que les deux qubits aient des valeurs différentes ?
œ Particule dans un piège harmonique
On considère un électron, de masse m et de quantité de mouvement p, piégé dans un
potentiel de type oscillateur harmonique. En mécanique classique, on peut montrer
que 1 'énergie potentielle de 1' électron en fonction de sa position x est donnée par
Ep(x) = ~mw
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On donne n = I.10- 34 1 .s.rad- 1 , w = 6,4.10 8 rad.s- 1 et e = l,6.10- 19 c
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mécanique quantique, que peut prendre l'électron dans ce potentiel.
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a) Écrire l' énergie totale E(x,p) de l'électron en fonction de w, m, x et p.
b) Écrire la relation d'incertitude de Heisenberg Position-Quantité de mouvement
à une dimension.