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Exercices et problèmes
L'axe (Ox) sera pris dans le sens du mouvement de la fusée. Les résultats des applications numériques s'exprimeront en années et années lumières.
a) Calculer la durée du voyage pour un observateur Terrestre.
b) En déduire la durée du voyage pour un observateur à bord de la fusée.
Simultanément (dans R) au départ de la première fusée, une deuxième fusée
part de Proxima du Centaure vers la Terre, en mouvement rectiligne uniforme,
à une vitesse v 2 = f3 2 c, {3 2 = 1/2. Appelons A et B les événements correspondant
aux deux départs.
XA = O,tA = O,xs = d,ts = 0, d = 4 années lumière.
c) Exprimer les coordonnées x~,t~,x~,t~ de ces deux événements dans R' en fonction de c, d et d'un des deux paramètres {3 1 ou {3 2 • Effectuer les applications
numériques.
d) Est-ce que les deux départs de fusées sont simultanés dans R'? Justifier votre
réponse.
e) Trouver, dans R, la position x* et le temps t* correspondant au croisement des
deux fusées.
Faire 1' application numérique. Ce calcul est-il relativiste ou non-relativiste ?
Justifier votre réponse.
EJ Train et tunnel relativistes - ou - le paradoxe de la bombe
On considère un train « très » rapide traversant un tunnel rectili gne dont la longueur
propre Lo est identique à la longueur propre du train. La vitesse (constante et uniforme) V du train par rapport au tunnel est supposée proche de celle de la lumière c.
Conformément à la théorie de la relativité restreinte, la longueur L du train apparaîtra
donc plus courte si elle est mesurée dans le référentiel 'R du tunnel. Réciproquement,
c'est le tunnel qui apparaîtra plus court si sa longueur est mesurée dans le référentiel 'R.' du train (phénomène de contraction des longueurs).
On appelle A et B les extrémités avant et arrière du train, et G et H les points d' entrée
et de sortie du tunnel. Avant que le train ne pénètre dans le tunnel, ces quatre points
se lisent donc B - A - G - H de la gauche vers la droite (faire un schéma !).
On choisit B, l'arrière du train, comme origine de coordonnées spatiales du référentiel 'R.', et G, l' entrée du tunnel, comme origine de coordonnées spatiales du référentiel 'R.. Les coordonnées spatiales des extrémités A et B du train dans le référentiel 'R.'
sont donc:
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L'axe (Ox) sera pris dans le sens du mouvement de la fusée. Les résultats des applications numériques s'exprimeront en années et années lumières.
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b) En déduire la durée du voyage pour un observateur à bord de la fusée.
Simultanément (dans R) au départ de la première fusée, une deuxième fusée
part de Proxima du Centaure vers la Terre, en mouvement rectiligne uniforme,
à une vitesse v 2 = f3 2 c, {3 2 = 1/2. Appelons A et B les événements correspondant
aux deux départs.
XA = O,tA = O,xs = d,ts = 0, d = 4 années lumière.
c) Exprimer les coordonnées x~,t~,x~,t~ de ces deux événements dans R' en fonction de c, d et d'un des deux paramètres {3 1 ou {3 2 • Effectuer les applications
numériques.
d) Est-ce que les deux départs de fusées sont simultanés dans R'? Justifier votre
réponse.
e) Trouver, dans R, la position x* et le temps t* correspondant au croisement des
deux fusées.
Faire 1' application numérique. Ce calcul est-il relativiste ou non-relativiste ?
Justifier votre réponse.
EJ Train et tunnel relativistes - ou - le paradoxe de la bombe
On considère un train « très » rapide traversant un tunnel rectili gne dont la longueur
propre Lo est identique à la longueur propre du train. La vitesse (constante et uniforme) V du train par rapport au tunnel est supposée proche de celle de la lumière c.
Conformément à la théorie de la relativité restreinte, la longueur L du train apparaîtra
donc plus courte si elle est mesurée dans le référentiel 'R du tunnel. Réciproquement,
c'est le tunnel qui apparaîtra plus court si sa longueur est mesurée dans le référentiel 'R.' du train (phénomène de contraction des longueurs).
On appelle A et B les extrémités avant et arrière du train, et G et H les points d' entrée
et de sortie du tunnel. Avant que le train ne pénètre dans le tunnel, ces quatre points
se lisent donc B - A - G - H de la gauche vers la droite (faire un schéma !).
On choisit B, l'arrière du train, comme origine de coordonnées spatiales du référentiel 'R.', et G, l' entrée du tunnel, comme origine de coordonnées spatiales du référentiel 'R.. Les coordonnées spatiales des extrémités A et B du train dans le référentiel 'R.'
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