-0
0
c
:J
0
lil
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 16 • Notions de mécanique quantique« et» relativiste
lution d'une particule dans 1 'espace-temps sans prendre en compte 1' ensemble des
particules (réelles ou virtuelles) qui l'environnent.
16. l ÉQUATION DE KLEIN-GORDON
On a vu au chapitre 14 que l'équation (non-relativiste) de Schrodinger s'obtenait en
remplaçant, dans la définition de l'énergie classique E = p
2 /2m, les grandeurs E et
p par les opérateurs in g 1 et -in fx (principe des opérateurs associés, à une dimension
d'espace).
L'équation de Klein-Gordon s'obtient de la même façon mais en considérant la
définition relativiste de l'énergie E
2
= p
2 c
2 + m
2 c
4 . Elle s'écrit:
(16.3)
où l'on constate l'apparition naturelle de la longueur d'onde de Compton Àcompton =
n/mc. Cette équation d'onde a, comme l'équation de Schrodinger, des solutions sous
forme d'ondes planes (de vecteur d'onde k = p/n), mais à chaque impulsion p
peuvent maintenant correspondre deux énergies opposées :
(16.4)
dont un état d' énergie négative qui aura naturellement tendance à être occupé par
les particules. La conséquence principale est que l'énergie d' un système matériel ne
serait pas «bornée par le bas» dans le cadre d'une telle théorie, rendant impossible
la stabilité de tels systèmes.
16.2 ÉQUATION DE DIRAC, THÉORIE QUANTIQUE
DES CHAMPS
L'ambiguïté de signe devant la racine carrée de l'expression précédente de l'énergie,
ainsi que la dissymétrie apparente entre les rôles des variables x et t, ont conduit Paul
Dirac à rechercher une équation d'onde avec uniquement des dérivées premières en
t et en x, mais en prenant comme condition que le carré de cette équation devait
redonner l'équation de Klein-Gordon, c'est-à-dire redonner l'expression relativiste
de l'énergie.
On montre alors qu'une telle équation est nécessairement matricielle, à quatre dimensions, avec des coefficients sous forme de matrices 4x4. Les fonctions d'onde
solutions ont alors quatre composantes, et sont appelées des spineurs de Dirac.
250
0
c
:J
0
lil
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 16 • Notions de mécanique quantique« et» relativiste
lution d'une particule dans 1 'espace-temps sans prendre en compte 1' ensemble des
particules (réelles ou virtuelles) qui l'environnent.
16. l ÉQUATION DE KLEIN-GORDON
On a vu au chapitre 14 que l'équation (non-relativiste) de Schrodinger s'obtenait en
remplaçant, dans la définition de l'énergie classique E = p
2 /2m, les grandeurs E et
p par les opérateurs in g 1 et -in fx (principe des opérateurs associés, à une dimension
d'espace).
L'équation de Klein-Gordon s'obtient de la même façon mais en considérant la
définition relativiste de l'énergie E
2
= p
2 c
2 + m
2 c
4 . Elle s'écrit:
(16.3)
où l'on constate l'apparition naturelle de la longueur d'onde de Compton Àcompton =
n/mc. Cette équation d'onde a, comme l'équation de Schrodinger, des solutions sous
forme d'ondes planes (de vecteur d'onde k = p/n), mais à chaque impulsion p
peuvent maintenant correspondre deux énergies opposées :
(16.4)
dont un état d' énergie négative qui aura naturellement tendance à être occupé par
les particules. La conséquence principale est que l'énergie d' un système matériel ne
serait pas «bornée par le bas» dans le cadre d'une telle théorie, rendant impossible
la stabilité de tels systèmes.
16.2 ÉQUATION DE DIRAC, THÉORIE QUANTIQUE
DES CHAMPS
L'ambiguïté de signe devant la racine carrée de l'expression précédente de l'énergie,
ainsi que la dissymétrie apparente entre les rôles des variables x et t, ont conduit Paul
Dirac à rechercher une équation d'onde avec uniquement des dérivées premières en
t et en x, mais en prenant comme condition que le carré de cette équation devait
redonner l'équation de Klein-Gordon, c'est-à-dire redonner l'expression relativiste
de l'énergie.
On montre alors qu'une telle équation est nécessairement matricielle, à quatre dimensions, avec des coefficients sous forme de matrices 4x4. Les fonctions d'onde
solutions ont alors quatre composantes, et sont appelées des spineurs de Dirac.
250