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Chapitre 15 • Les règles générales de la mécanique quantique
indétermination nulle sur la quantité de mouvement : 6.px = 0). Cette impossibilité
condamne toute notion de trajectoire précise pour une particule en mécanique quantique, nous arrivons ainsi à la même conclusion qu'avec l'inégalité de Heisenberg.
Que se passe-t-il si on fait une mesure moins précise de position? Si on mesure la
position dans l' intervalle [-ÔXmesure/2,ÔXmesure/2], la mesure projette le système dans
l'un des états lxn) définis dans l'encart 13.1(figure13.17). Une mesure sur cet état de
la composante selon Ox de l'impulsion donne des résultats centrés sur Px = 0 avec un
écart-type ÔPx,perturb de l'ordre de h/ôXmesure· On a alors : ÔXmesureÔPx,perturb ~ 2nn
On peut montrer qu' il existe une inégalité de Heisenberg-Ozawa concernant l' écart
type !ixmesure• qui caractérise la précision d'une mesure de x, l'écart type !ipx,perturb •
qui caractérise la dispersion des valeurs de Px de l'état du système perturbé par cette
mesure, et les écarts types tix et !ipx qui caractérisent la dispersion des valeurs de
x et P x dans l'état initial du système, celles qui sont concernées par l'inégalité de
Heisenberg « habituelle » (13.16). L'inégalité de Heisenberg-Ozawa s' écrit 2 :
11Xmesure11Px,perturb + !ix!ipx,perturb + 11Xmesure 11Px ;::: n/2
(15.19)
Cette relation empêche que 1' on ait une mesure à la fois parfaite et non perturbatrice (!ixmesure = !ipx,perturb = 0). On peut, en revanche, avoir une mesure parfaite
11Xmesure = 0 avec une valeur de !ipx,perturb telle que tix!ipx,perturb ~ n/2. Ainsi la
relation (15.19) n'interdit pas que 11Xmesure11Px,perturb < n/2, à condition que !ix et
!ipx soient suffisamment grands : plusieurs expériences récentes ont effectivement
mis en évidence qu'on pouvait être dans ce régime, où l'effet perturbateur de la mesure est en quelque sorte « caché » dans la grande dispersion initiale des valeurs de
x et de P x . L'inégalité (15 .19) ressemble à l'inégalité de Heisenberg et elle est souvent confondue avec cette dernière. Elle est cependant différente conceptuellement,
car la relation (13.16) est une propriété de tout état quantique, découlant de la dualité
onde-particule. Elle ne concerne pas l'effet de la mesure sur l'état et ne dépend pas
du postulat 3c, alors que l'inégalité (15.19) en est une conséquence directe.
1 5.3.5 Une expérience de localisation spatiale
d'une particule isolée
La figure 15.1 donne un exemple d'expérience de localisation d' une particule unique,
en l'occurrence un atome (ou un ion): elle consiste à exciter l'atome avec un faisceau
laser se propageant le long de l 'axe Ox. L'atome est alors porté dans un état excité
d'énergie E2. 11 retombe ensuite par émission spontanée dans son état fondamental
d'énergie E 1 en émettant un photon de fréquence v = (E2 - E 1 )/h. Ce photon est
émis dans une direction aléatoire. Le laser peut alors exciter à nouveau l' atome, et
2. M. Ozawa, Physical Review 67, 042105 , 2003
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Chapitre 15 • Les règles générales de la mécanique quantique
indétermination nulle sur la quantité de mouvement : 6.px = 0). Cette impossibilité
condamne toute notion de trajectoire précise pour une particule en mécanique quantique, nous arrivons ainsi à la même conclusion qu'avec l'inégalité de Heisenberg.
Que se passe-t-il si on fait une mesure moins précise de position? Si on mesure la
position dans l' intervalle [-ÔXmesure/2,ÔXmesure/2], la mesure projette le système dans
l'un des états lxn) définis dans l'encart 13.1(figure13.17). Une mesure sur cet état de
la composante selon Ox de l'impulsion donne des résultats centrés sur Px = 0 avec un
écart-type ÔPx,perturb de l'ordre de h/ôXmesure· On a alors : ÔXmesureÔPx,perturb ~ 2nn
On peut montrer qu' il existe une inégalité de Heisenberg-Ozawa concernant l' écart
type !ixmesure• qui caractérise la précision d'une mesure de x, l'écart type !ipx,perturb •
qui caractérise la dispersion des valeurs de Px de l'état du système perturbé par cette
mesure, et les écarts types tix et !ipx qui caractérisent la dispersion des valeurs de
x et P x dans l'état initial du système, celles qui sont concernées par l'inégalité de
Heisenberg « habituelle » (13.16). L'inégalité de Heisenberg-Ozawa s' écrit 2 :
11Xmesure11Px,perturb + !ix!ipx,perturb + 11Xmesure 11Px ;::: n/2
(15.19)
Cette relation empêche que 1' on ait une mesure à la fois parfaite et non perturbatrice (!ixmesure = !ipx,perturb = 0). On peut, en revanche, avoir une mesure parfaite
11Xmesure = 0 avec une valeur de !ipx,perturb telle que tix!ipx,perturb ~ n/2. Ainsi la
relation (15.19) n'interdit pas que 11Xmesure11Px,perturb < n/2, à condition que !ix et
!ipx soient suffisamment grands : plusieurs expériences récentes ont effectivement
mis en évidence qu'on pouvait être dans ce régime, où l'effet perturbateur de la mesure est en quelque sorte « caché » dans la grande dispersion initiale des valeurs de
x et de P x . L'inégalité (15 .19) ressemble à l'inégalité de Heisenberg et elle est souvent confondue avec cette dernière. Elle est cependant différente conceptuellement,
car la relation (13.16) est une propriété de tout état quantique, découlant de la dualité
onde-particule. Elle ne concerne pas l'effet de la mesure sur l'état et ne dépend pas
du postulat 3c, alors que l'inégalité (15.19) en est une conséquence directe.
1 5.3.5 Une expérience de localisation spatiale
d'une particule isolée
La figure 15.1 donne un exemple d'expérience de localisation d' une particule unique,
en l'occurrence un atome (ou un ion): elle consiste à exciter l'atome avec un faisceau
laser se propageant le long de l 'axe Ox. L'atome est alors porté dans un état excité
d'énergie E2. 11 retombe ensuite par émission spontanée dans son état fondamental
d'énergie E 1 en émettant un photon de fréquence v = (E2 - E 1 )/h. Ce photon est
émis dans une direction aléatoire. Le laser peut alors exciter à nouveau l' atome, et
2. M. Ozawa, Physical Review 67, 042105 , 2003
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