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15.1. À la base de tout: le vecteur d'état
Les coefficients {cdi= L, .. ,N sont les coordonnées du vecteur l l[f) dans la base {lui)}. La
base orthonormée permet d'écrire simplement le produit scalaire complexe de deux
vecteurs d'état llf') et l), de coordonnées respectives {cdi=l, .. ,N et {ddi=l, .. ,N:
N
< l[fl> = L
i= l
l 5.1.4 Cas particulier: la fonction d'onde
Considérons l'équivalent quantique d'un point matériel de masse m pouvant se déplacer uniquement le long de l'axe Ox. Nous avons vu dans le chapitre 14 que, comme
on peut mesurer a priori sa position en n' importe quel point x de cet axe, l' espace
de Hilbert associé est de dimension infinie continue. Une base possible est celle des
états {lx)} (x E] - oo, + oo[) correspondant à des états parfaitement localisés au point
x, et qui vérifient :
(xlx') = 0 pour x * x'
(15.5)
Le carré scalaire (xlx) de ces vecteurs est infini. Ils ne sont donc pas associés à des
états physiques mais représentent des intermédiaires de calcul commodes.
Tout vecteur d'état quantique l l[f) de la particule peut se décomposer sur cette base,
non sous la forme d'une somme discrète, mais d'une intégrale:
r +oo
ll[f) = J_
00
dxlfr(x) lx) avec .p(x) = (xl'P) et 1:
00
dx li/J(x)l
2 = 1 (15.6)
où lfr(x) est 1afonction d'onde, fonction complexe de carré sommable de la variable
x dont l'ensemble des valeurs constitue les coordonnées du vecteur l l[f) dans la base
{lx) }. Cette base permet d'écrire simplement le produit scalaire complexe de deux
vecteurs d'état l If') et l), de fonctions d 'onde respectives lfr(x) et cp(x) :
r +oo
( l[fl) = J_
00
dx l/t*(x) (15.7)
Comme le vecteur d' état, la fonction d 'onde est définie à un facteur de phase près.
C ' est une fonction continue en tout point, et sa dérivée spatiale est continue partout,
sauf en un nombre fini de points isolés.
Les fonctions d'onde obéissent également à un principe de superposition : si lfr 1 (x)
et l/t2 (x) sont deux fonctions d'onde possibles pour un système, alors toute combinaison linéaire (à coefficients complexes, normalisée à un) de ces fonctions d' onde est
aussi une fonction d'onde possible pour ce système. Cette possibilité de superposition rend possible l'existence d' inteiférences destructives entre fonctions d'onde de
phases opposées analogues aux interférences destructives pour l' onde lumineuse.
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15.1. À la base de tout: le vecteur d'état
Les coefficients {cdi= L, .. ,N sont les coordonnées du vecteur l l[f) dans la base {lui)}. La
base orthonormée permet d'écrire simplement le produit scalaire complexe de deux
vecteurs d'état llf') et l
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l 5.1.4 Cas particulier: la fonction d'onde
Considérons l'équivalent quantique d'un point matériel de masse m pouvant se déplacer uniquement le long de l'axe Ox. Nous avons vu dans le chapitre 14 que, comme
on peut mesurer a priori sa position en n' importe quel point x de cet axe, l' espace
de Hilbert associé est de dimension infinie continue. Une base possible est celle des
états {lx)} (x E] - oo, + oo[) correspondant à des états parfaitement localisés au point
x, et qui vérifient :
(xlx') = 0 pour x * x'
(15.5)
Le carré scalaire (xlx) de ces vecteurs est infini. Ils ne sont donc pas associés à des
états physiques mais représentent des intermédiaires de calcul commodes.
Tout vecteur d'état quantique l l[f) de la particule peut se décomposer sur cette base,
non sous la forme d'une somme discrète, mais d'une intégrale:
r +oo
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où lfr(x) est 1afonction d'onde, fonction complexe de carré sommable de la variable
x dont l'ensemble des valeurs constitue les coordonnées du vecteur l l[f) dans la base
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Comme le vecteur d' état, la fonction d 'onde est définie à un facteur de phase près.
C ' est une fonction continue en tout point, et sa dérivée spatiale est continue partout,
sauf en un nombre fini de points isolés.
Les fonctions d'onde obéissent également à un principe de superposition : si lfr 1 (x)
et l/t2 (x) sont deux fonctions d'onde possibles pour un système, alors toute combinaison linéaire (à coefficients complexes, normalisée à un) de ces fonctions d' onde est
aussi une fonction d'onde possible pour ce système. Cette possibilité de superposition rend possible l'existence d' inteiférences destructives entre fonctions d'onde de
phases opposées analogues aux interférences destructives pour l' onde lumineuse.
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