"'O
0
c
:J
0
lil
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 15 • Les règles générales de la mécanique quantique
j IJI) est donc normé à 1 et est défini à un facteur de phase près.
Notons la différence importante de description entre un système classique, où il est
nécessaire de connaître de nombreux paramètres différents du système si on veut le
décrire complètement (position, vitesse, moment magnétique, valeur d'une onde en
tout point...) et un système quantique, où le vecteur d'état d'un système physique est
un objet unique qui contient toutes les informations mesurables sur ce système.
15.1.2 Conséquences immédiates
L'appartenance à un espace vectoriel semble une propriété technique de l'état. En fait,
elle est un des aspects les plus fondamentaux de la mécanique quantique, car elle a de
nombreuses conséquences. Propriété commune à tous les phénomènes ondulatoires,
elle implique en particulier le « principe de superposition » :
Si l IJl1) et l IJl 2) sont deux vecteurs d'état d'un même système quantique, toute
combinaison linéaire a1llJl1) + a2llJl2) normée à 1 de ces deux vecteurs d'état est
aussi un état possible du système.
La linéarité de la mécanique quantique implique en outre le théorème de nonclonage, abordé au chapitre 12 :
Il n'est pas possible de dupliquer un état quantique inconnu, c'est-à-dire produire
à partir de cet état deux états « copies » strictement identiques à cet état entrant.
1 5.1.3 Décomposition sur une base de l'espace de Hilbert
Une caractéristique importante d'un système physique est la dimension N de l'espace de Hilbert associé, c'est-à-dire le nombre de coefficients complexes qu' il faut
connaître pour déterminer exactement le vecteur d'état. Celle-ci peut être finie,
comme dans le cas de la polarisation du photon ou du moment magnétique de spin
d'un atome (dans ces deux cas N = 2), ou infinie dénombrable, comme dans le cas de
la boîte quantique. Elle peut même être infinie avec la puissance du continu comme
dans le cas d'une particule libre. Nous allons considérer dans ce paragraphe seulement le cas dénombrable.
Il existe une infinité de bases différentes pour représenter un élément d' un espace
vectoriel. Les bases les plus adaptées à la description d'un état quantique sont les
bases orthonormées {lui)} (i = l,N), telles que:
236
Ôii = 1 et ÔiJ = 0 pour i -::f:. j
Tout vecteur d'état quantique l IJI) peut se décomposer sur cette base :
N
l IJI) = I Ci lui) avec
i= l
Ci = (uil IJI)
et
N
I 1Cï1
2 = 1
i= l
(15.2)
(15.3)
0
c
:J
0
lil
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Chapitre 15 • Les règles générales de la mécanique quantique
j IJI) est donc normé à 1 et est défini à un facteur de phase près.
Notons la différence importante de description entre un système classique, où il est
nécessaire de connaître de nombreux paramètres différents du système si on veut le
décrire complètement (position, vitesse, moment magnétique, valeur d'une onde en
tout point...) et un système quantique, où le vecteur d'état d'un système physique est
un objet unique qui contient toutes les informations mesurables sur ce système.
15.1.2 Conséquences immédiates
L'appartenance à un espace vectoriel semble une propriété technique de l'état. En fait,
elle est un des aspects les plus fondamentaux de la mécanique quantique, car elle a de
nombreuses conséquences. Propriété commune à tous les phénomènes ondulatoires,
elle implique en particulier le « principe de superposition » :
Si l IJl1) et l IJl 2) sont deux vecteurs d'état d'un même système quantique, toute
combinaison linéaire a1llJl1) + a2llJl2) normée à 1 de ces deux vecteurs d'état est
aussi un état possible du système.
La linéarité de la mécanique quantique implique en outre le théorème de nonclonage, abordé au chapitre 12 :
Il n'est pas possible de dupliquer un état quantique inconnu, c'est-à-dire produire
à partir de cet état deux états « copies » strictement identiques à cet état entrant.
1 5.1.3 Décomposition sur une base de l'espace de Hilbert
Une caractéristique importante d'un système physique est la dimension N de l'espace de Hilbert associé, c'est-à-dire le nombre de coefficients complexes qu' il faut
connaître pour déterminer exactement le vecteur d'état. Celle-ci peut être finie,
comme dans le cas de la polarisation du photon ou du moment magnétique de spin
d'un atome (dans ces deux cas N = 2), ou infinie dénombrable, comme dans le cas de
la boîte quantique. Elle peut même être infinie avec la puissance du continu comme
dans le cas d'une particule libre. Nous allons considérer dans ce paragraphe seulement le cas dénombrable.
Il existe une infinité de bases différentes pour représenter un élément d' un espace
vectoriel. Les bases les plus adaptées à la description d'un état quantique sont les
bases orthonormées {lui)} (i = l,N), telles que:
236
Ôii = 1 et ÔiJ = 0 pour i -::f:. j
Tout vecteur d'état quantique l IJI) peut se décomposer sur cette base :
N
l IJI) = I Ci lui) avec
i= l
Ci = (uil IJI)
et
N
I 1Cï1
2 = 1
i= l
(15.2)
(15.3)