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Chapitre 14 • Évolution temporelle de la fonction d'onde
S'affranchir d'une représentation particulière en travaillant en termes de vecteurs
d'état plutôt qu'en termes de fonctions d' onde est très important puisque cela permet
de traiter des problèmes où la notion même de fonction d'onde n'est plus pertinente
(comme dans le cas de la polarisation des photons du chapitre 11, ou celui du spin
des atomes d'argent du chapitre 12).
14.8.3 Exemple de la boite quantique
Connaissant la fonction d'onde d'un état donné du système, on en déduit par transformée de Fourier la probabilité de mesurer la vitesse. On peut le faire, par exemple, pour
les trois premiers niveaux de la boîte quantique du paragraphe 14.5 (avec k = mv/n).
On trouve:
-
2TrL cos
2 (kL/2)
-
8TrL sin
2 (kL/2)
-
18TrL cos
2 (kL/2)
P1(v) - -
· P2(v) - -
· P3(v) - - - - - - - -
- tz (k2 L2 _ 7f2)2 ,
-
tz (k2 L2 _ 4 7f2)2 ,
-
tz (k2 L2 _ 9 7f2)2
(14.37)
On constate, sur la figure 14.6, que dans l'état fondamental la vitesse la plus probable
est 0, qui est la vitesse de l'état classique de plus basse énergie, mais que la vitesse
peut prendre des valeurs positives ou négatives notablement différentes de zéro, de
l'ordre de n/mL. Dans les états n = 2 et n = 3 de plus grande énergie, on a deux pics
centrés plus ou moins sur la vitesse de la particule classique de même énergie, mais
toujours avec une dispersion notable des résultats de mesure autour de la valeur la
plus probable. Pour de fortes valeurs de n, ces deux pics sont très espacés et on tend
vers la situation classique où la vitesse de la particule prend seulement deux valeurs
opposées (figure 14.7).
P l(v), P2(v), P3(v)
-3 - 2 - 1 0
1
2
3
Figure 14.6 - Densités de probabilité de vitesse P 1 (v), P 2 (v), P 3 (v) du pu its carré infini.
L'axe des abscisses est en unités h/2mL.
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