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14.8. Mesure de la vitesse de la particule, notion d'observable
vaut :
P(v) = 1( 'Pui ' l7)1
2
= 11: dx l/l~(x)l/f(x)l
2
Soit, plus explicitement :
_
m 11
00
mvx
1
2
P(v) = -
dx exp(-i-)1/f(x)
2nn -OO
n
où le facteur numérique m/2nn permet d'obtenir:
(14.33)
(14.34)
(14.35)
signifiant que la probabilité de trouver n'importe quelle valeur de v dans une mesure
de vitesse est égale 1.
Remarquons que le résultat (1 4.34) est extrêmement surprenant : c' est la même
quantité mathématique complexe, l/f(x), qui contient les prédictions physiques concernant la position et la vitesse de la particule, alors qu'en physique classique on peut
fixer de manière totalement indépendante position et vitesse d'un point matériel.
Cette propriété implique que mesures de position et mesures de vitesse ne sont plus
totalement indépendantes. Elles sont en fait liées par l' inégalité de Heisenberg que
nous avons vue au chapitre 13.
La transformation mathématique qui permet de passer d'une fonction f(x) à la
fonction f (k) = J dx e-ikx f (x) est bien connue des mathématiciens et des physiciens
qui l'utilisent dans de nombreux domaines : il s'agit de la transformée de Fourier,
dont la transformation inverse s'écrit f(x) = J dk e+ikx f(k)/2n. L'expression (14.34)
nous indique donc que la probabilité de mesurer une vitesse v est proportionnelle au
carré de la transformée de Fourier if;(k) de la fonction d' onde l/f(x), avec k = mv/n.
Il est important de noter que la connaissance des coefficients if;(k) est équivalente
à la connaissance de la fonction d' onde l/f (x). Ces représentations ne sont en fait que
deux exemples parmi l'infinité de représentations possibles du vecteur d'état 11/J), et
contiennent exactement la même information sur 1' état du système. Ainsi, la fonction
d'onde l/f (x) apparaît comme une représentation particulière (appelée représentation
position, puisqu' elle fait intervenir la variable position x) du vecteur d'état Il/!) :
+oo
Il/!) = f 1/1 (x) lx) dx
(14.36)
- OO
dans la base {lx)}, où lx) est le vecteur d'état d' un système physique dont la position
est détectée à coup sûr en la position x à dx près (c'est-à-dire par un détecteur de
taille infinitésimale dx).
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signifiant que la probabilité de trouver n'importe quelle valeur de v dans une mesure
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Remarquons que le résultat (1 4.34) est extrêmement surprenant : c' est la même
quantité mathématique complexe, l/f(x), qui contient les prédictions physiques concernant la position et la vitesse de la particule, alors qu'en physique classique on peut
fixer de manière totalement indépendante position et vitesse d'un point matériel.
Cette propriété implique que mesures de position et mesures de vitesse ne sont plus
totalement indépendantes. Elles sont en fait liées par l' inégalité de Heisenberg que
nous avons vue au chapitre 13.
La transformation mathématique qui permet de passer d'une fonction f(x) à la
fonction f (k) = J dx e-ikx f (x) est bien connue des mathématiciens et des physiciens
qui l'utilisent dans de nombreux domaines : il s'agit de la transformée de Fourier,
dont la transformation inverse s'écrit f(x) = J dk e+ikx f(k)/2n. L'expression (14.34)
nous indique donc que la probabilité de mesurer une vitesse v est proportionnelle au
carré de la transformée de Fourier if;(k) de la fonction d' onde l/f(x), avec k = mv/n.
Il est important de noter que la connaissance des coefficients if;(k) est équivalente
à la connaissance de la fonction d' onde l/f (x). Ces représentations ne sont en fait que
deux exemples parmi l'infinité de représentations possibles du vecteur d'état 11/J), et
contiennent exactement la même information sur 1' état du système. Ainsi, la fonction
d'onde l/f (x) apparaît comme une représentation particulière (appelée représentation
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est détectée à coup sûr en la position x à dx près (c'est-à-dire par un détecteur de
taille infinitésimale dx).
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