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14.8. Mesure de la vitesse de la particule, notion d'observable
On remarque d'abord que le coefficient de réflexion est de module 1, ce qui implique
que la particule est réfléchie par la barrière avec certitude, comme dans le cas classique. Mais on constate aussi que C * 0 : la fonction d'onde est non nulle dans la
région II, classiquement interdite. Il y a donc une probabilité non-nulle de détecter
la particule dans la région II, c'est-à-dire «dans» la marche! Cette onde transmise
ce- K x n' est pas une onde plane progressive et son amplitude décroît exponentiellement en x; elle s'annule au bout d'une distance de quelques K- I : c'est une onde
évanescente de matière, dont l' analogue, en électromagnétisme, correspond à l'onde
évanescente existant dans un dioptre lors de la réflexion totale d' une onde électromagnétique.
Considérons alors non pas une marche, mais une barrière de potentiel de hauteur V,
qui revient à la valeur V(x) = 0 pour X > e, avec e de l'ordre de K- I : on s'attend
à ce que 1 'onde évanescente de matière ait une valeur non négligeable en x = e et
se raccorde, en utilisant toujours les relations de continuité, à une onde progressive
d'amplitude non nulle pour x > e. La particule a alors une probabilité non nulle
d'être transmise au-delà d'une barrière qu'elle ne peut classiquement franchir ! C' est
ce qu'on appelle 1 'effet tunnel. Ce phénomène est à la base du microscope à effet
tunnel (figure 14.5).
14.8 MESURE DE LA VITESSE DE LA PARTICULE,
NOTION D'OBSERVABLE
Jusqu' ici, les seules mesures que nous avons présentées en détail sont celles de position et d'énergie. Il existe bien évidemment d'autres grandeurs remarquables pour
une particule, en premier lieu desquelles sa vitesse (ou sa quantité de mouvement).
14.8.1 État ayant une valeur certaine de la vitesse
On se place à un instant donné t = 0, et à une seule dimension d'espace. Un état
quantique l '!' 0 ) de vitesse u bien déterminée selon Ox a une quantité de mouvement
mu donc un vecteur d'onde bien défini dans la direction Ox: kx =mu/li. La fonction
d'onde associée est par conséquent une onde plane qui s'écrit, d'après (14.4) :
(
mux)
i/lu(x) = i/lo exp i---y;;(14.31)
où i/lo est un facteur numérique sans signification physique.
Le vecteur d'état correspondant s'écrit :
l lf'u) = i/lo 1: dx exp (ïm:x) lx)
(14.32)
227
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On remarque d'abord que le coefficient de réflexion est de module 1, ce qui implique
que la particule est réfléchie par la barrière avec certitude, comme dans le cas classique. Mais on constate aussi que C * 0 : la fonction d'onde est non nulle dans la
région II, classiquement interdite. Il y a donc une probabilité non-nulle de détecter
la particule dans la région II, c'est-à-dire «dans» la marche! Cette onde transmise
ce- K x n' est pas une onde plane progressive et son amplitude décroît exponentiellement en x; elle s'annule au bout d'une distance de quelques K- I : c'est une onde
évanescente de matière, dont l' analogue, en électromagnétisme, correspond à l'onde
évanescente existant dans un dioptre lors de la réflexion totale d' une onde électromagnétique.
Considérons alors non pas une marche, mais une barrière de potentiel de hauteur V,
qui revient à la valeur V(x) = 0 pour X > e, avec e de l'ordre de K- I : on s'attend
à ce que 1 'onde évanescente de matière ait une valeur non négligeable en x = e et
se raccorde, en utilisant toujours les relations de continuité, à une onde progressive
d'amplitude non nulle pour x > e. La particule a alors une probabilité non nulle
d'être transmise au-delà d'une barrière qu'elle ne peut classiquement franchir ! C' est
ce qu'on appelle 1 'effet tunnel. Ce phénomène est à la base du microscope à effet
tunnel (figure 14.5).
14.8 MESURE DE LA VITESSE DE LA PARTICULE,
NOTION D'OBSERVABLE
Jusqu' ici, les seules mesures que nous avons présentées en détail sont celles de position et d'énergie. Il existe bien évidemment d'autres grandeurs remarquables pour
une particule, en premier lieu desquelles sa vitesse (ou sa quantité de mouvement).
14.8.1 État ayant une valeur certaine de la vitesse
On se place à un instant donné t = 0, et à une seule dimension d'espace. Un état
quantique l '!' 0 ) de vitesse u bien déterminée selon Ox a une quantité de mouvement
mu donc un vecteur d'onde bien défini dans la direction Ox: kx =mu/li. La fonction
d'onde associée est par conséquent une onde plane qui s'écrit, d'après (14.4) :
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où i/lo est un facteur numérique sans signification physique.
Le vecteur d'état correspondant s'écrit :
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