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Chapitre 14 • Évolution temporelle de la fonction d'onde
Dans la région I, la solution est de la forme :
(14.26)
avec k 1 = ~2mE/lî 2 . Elle est la superposition de l'onde Aeik,x décrivant la particule
incidente et de l'onde Be- ik,x décrivant la particule réfléchie.
- Considérons tout d'abord le cas E > V : la solution dans la région II est alors
aussi une somme d'exponentielles complexes :
(14.27)
avec ku = ~2m(E - V)/n 2 . C 'est donc, en général, la somme de deux ondes se
propageant vers les x positifs ou négatifs. Comme nous voulons décrire le problème
de diffusion évoqué plus haut, nous allons chercher une solution où il n'y a qu'une
onde transmjse, se propageant vers les x > 0, donc avec D =O.
Par analogie avec une onde lumineuse, nous appellerons coefficient de réflexion R
la quantité IB/Al
2 et coefficient de transmission T la quantité IC/Al
2 . En utilisant les
conditions de continuité en x = 0 de la fonction d' onde cp (x) et de sa dérivée cp' (x) ,
il est possible de calculer ces quantités. On trouve :
R = ( 1 - V 1 - V/ E )
2
1 + vl - V/E
T=l-R
(14.28)
On constate donc une différence importante avec le cas classique : il y a une probabilité non nulle que la particule quantique rebrousse chemin sur l'obstacle, alors qu'elle
est transmise à coup sûr dans le cas classique. Remarquons que le coefficient R est
proche de 1 quand E ~ V et tend vers 0 lorsque E/V tend vers l'infini. Ce phénomène
porte le nom de réflexion quantique. 11 est l'analogue, pour les ondes de matière, du
phénomène bien connu de réflexion des ondes électromagnétiques lors de leur passage d'un milieu transparent à un autre d' indice optique différent.
- Considérons maintenant le cas E < V : la solution dans la région II est alors une
somme d'exponentielles réelles :
(14.29)
avec K = ~2m(V - E)/lî 2 • Lorsque D * 0 l'amplitude de l'onde de matière diverge
lorsque x croît. Nous chercherons donc une solution avec D = O. En utilisant les
conditions de continuité en x = 0 de la fonction d'onde cp (x) et de sa dérivée cp' (x) ,
il est possible de trouver une telle solution. On trouve en particulier :
(14.30)
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Chapitre 14 • Évolution temporelle de la fonction d'onde
Dans la région I, la solution est de la forme :
(14.26)
avec k 1 = ~2mE/lî 2 . Elle est la superposition de l'onde Aeik,x décrivant la particule
incidente et de l'onde Be- ik,x décrivant la particule réfléchie.
- Considérons tout d'abord le cas E > V : la solution dans la région II est alors
aussi une somme d'exponentielles complexes :
(14.27)
avec ku = ~2m(E - V)/n 2 . C 'est donc, en général, la somme de deux ondes se
propageant vers les x positifs ou négatifs. Comme nous voulons décrire le problème
de diffusion évoqué plus haut, nous allons chercher une solution où il n'y a qu'une
onde transmjse, se propageant vers les x > 0, donc avec D =O.
Par analogie avec une onde lumineuse, nous appellerons coefficient de réflexion R
la quantité IB/Al
2 et coefficient de transmission T la quantité IC/Al
2 . En utilisant les
conditions de continuité en x = 0 de la fonction d' onde cp (x) et de sa dérivée cp' (x) ,
il est possible de calculer ces quantités. On trouve :
R = ( 1 - V 1 - V/ E )
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T=l-R
(14.28)
On constate donc une différence importante avec le cas classique : il y a une probabilité non nulle que la particule quantique rebrousse chemin sur l'obstacle, alors qu'elle
est transmise à coup sûr dans le cas classique. Remarquons que le coefficient R est
proche de 1 quand E ~ V et tend vers 0 lorsque E/V tend vers l'infini. Ce phénomène
porte le nom de réflexion quantique. 11 est l'analogue, pour les ondes de matière, du
phénomène bien connu de réflexion des ondes électromagnétiques lors de leur passage d'un milieu transparent à un autre d' indice optique différent.
- Considérons maintenant le cas E < V : la solution dans la région II est alors une
somme d'exponentielles réelles :
(14.29)
avec K = ~2m(V - E)/lî 2 • Lorsque D * 0 l'amplitude de l'onde de matière diverge
lorsque x croît. Nous chercherons donc une solution avec D = O. En utilisant les
conditions de continuité en x = 0 de la fonction d'onde cp (x) et de sa dérivée cp' (x) ,
il est possible de trouver une telle solution. On trouve en particulier :
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