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14.5. Exemple 2 : le puits carré infini
On déduit de (1 4.14) que la fonction cf> est solution de l' équation différentielle:
d
2
2mE
dx 2 cp =-~cf>
(14.16)
et doit aussi être nulle en 0 et L.
Nous cherchons une solution d'énergie positive E ;::: 0 à (14.16). Celle-ci s'écrit
sous la forme d' une combinaison linéaire d'exponentielles complexes : a' eikx +/3' e - ikx
avec k = -J2mE/n 2 , et peut donc être mise, de façon équivalente, sous la forme :
a sin kx+f3 cos kx, où a etf3 sont deux constantes complexes. La condition aux limites
cp(O) = 0 impose alors que f3 = 0, tandis que la condition aux limites cp(L) = sin kL =
0 impose que k ne peut pas prendre n 'importe quelle valeur. Plus précisément k est
un des kn obéissant à la relation :
k
_ mr
n - L
(14.17)
où n est un entier naturel non nul. La condition de normalisation impose alors que
a = V2ïf, à un facteur de phase près, sans signification physique.
Toute solution d'énergie donnée En de l'équation de Schrodinger s'écrit donc (pour
le puits carré infini) :
(14.18)
l' énergie En valant:
(14.19)
Comme nous l'avons déjà noté au chapitre précédent, dans un tel système, l'énergie
ne peut prendre que certaines valeurs : elle est quantifiée.
La densité de probabilité P n(x) de présence de la particule en x dans un état n vaut
ll/tn(x,t)l
2 :
2
2 (mrx)
Pn(x) = L sin L
(14.20)
Elle est indépendante du temps : contrairement au cas classique (où la particule fait
constamment des allers-retours entre les murs), la particule quantique « ne bouge
pas », d' où le nom d'état stationnaire donné aux états quantiques d'énergie totale nonnulle déterminée. P n(x) définit une sorte de « nuage fixe », caractérisant de manière
statistique la position de la particule.
La figure 14.1 montre les variations spatiales des premières densités de probabilités
de présence P 1 (x), P 2 (x), P 3 (x). Ces probabilités ne sont maximales qu'en certains
points du puits et s' annulent en d' autres points (appelés nœuds de vibration), en totale contradiction avec la description classique où l'on s' attend à détecter la particule
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sous la forme d' une combinaison linéaire d'exponentielles complexes : a' eikx +/3' e - ikx
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où n est un entier naturel non nul. La condition de normalisation impose alors que
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Toute solution d'énergie donnée En de l'équation de Schrodinger s'écrit donc (pour
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Comme nous l'avons déjà noté au chapitre précédent, dans un tel système, l'énergie
ne peut prendre que certaines valeurs : elle est quantifiée.
La densité de probabilité P n(x) de présence de la particule en x dans un état n vaut
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Elle est indépendante du temps : contrairement au cas classique (où la particule fait
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pas », d' où le nom d'état stationnaire donné aux états quantiques d'énergie totale nonnulle déterminée. P n(x) définit une sorte de « nuage fixe », caractérisant de manière
statistique la position de la particule.
La figure 14.1 montre les variations spatiales des premières densités de probabilités
de présence P 1 (x), P 2 (x), P 3 (x). Ces probabilités ne sont maximales qu'en certains
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