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0
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0
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.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
Chapitre 14 • Évolution temporelle de la fonction d'onde
Elle dépend maintenant de x. Un électron isolé sera donc détecté à une position aléatoire, à l'exception des points où P(r,t) = 0, c'est-à-dire où il y a interférence totalement destructive. Si on envoie un par un de nombreux électrons, le nombre de
points lumineux enregistrés sur le détecteur à l'abscisse x finira par être proportionnel à P(r,t) et donnera donc naissance à des franges d'interférences dans la densité
d'électrons.
D'une façon générale, si l'on considère deux fonctions d' onde possibles, 1/11 (x,t)
et 1/1 2 (x,t), pour un système physique, c'est le fait que l'on somme les amplitudes de
probabilités !/Ji (x,t)+!/1 2 (x,t) et non les densités de probabilités 11/1 1 (x,t)l
2 +1!/1 2 (x,t)i
2 ,
qui permet de rendre compte des phénomènes d' interférences d' ondes de matière:
(14.13)
interférences
où!/!~ représente le complexe conjugué du nombre 1/11 .
14.5 EXEMPLE 2 : LE PUITS CARRÉ INFINI
On considère, comme dans la section 13.2, une particule se déplaçant le long de l'axe
Ox et soumise à un potentiel V(x) qui est infini pour x < 0, nul pour 0 ::; x ::; L
et à nouveau infini pour x > L. Il s'agit d'une particule libre entre deux « murs»
situés en x = 0 et x = L, qu'elle ne peut en aucune manière franchir, quelle que soit
son énergie cinétique (figure 13.11 ). Nous allons maintenant approfondir l'approche
de la section 13.2 en cherchant l' ensemble des solutions possibles de l'équation de
Schrodinger pour la fonction d' onde l/f(x,t).
La particule a une probabilité nulle de se trouver « de 1' autre côté des murs »,
donc !/f(x,t) = 0 pour x < 0 et x > L pour tout t. On en déduit par continuité que
!/f(O,t) = !/f(L,t) = O. On cherche donc une fonction complexe !/f(x,t) de norme 1
Cf ll/J(x ,t)l 2 dx = 1) satisfaisant à l'équation de Schrodinger:
a
n2 a2
in ot !/J(x,t) = - 2m 1Jx2 l/J(x,t)
(14.14)
pour x appartenant à l' intervalle [O,L], et nulle en 0 et L.
8
14.5.1 Recherche de solutions particulières d'énergie
donnée
Comme E = 1ïw, nous allons chercher des solutions «monochromatiques», de pulsation w donnée, donc de la forme :
!/f(x ,t) = cp(x)e-Œr/n
(14.15)
220
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Chapitre 14 • Évolution temporelle de la fonction d'onde
Elle dépend maintenant de x. Un électron isolé sera donc détecté à une position aléatoire, à l'exception des points où P(r,t) = 0, c'est-à-dire où il y a interférence totalement destructive. Si on envoie un par un de nombreux électrons, le nombre de
points lumineux enregistrés sur le détecteur à l'abscisse x finira par être proportionnel à P(r,t) et donnera donc naissance à des franges d'interférences dans la densité
d'électrons.
D'une façon générale, si l'on considère deux fonctions d' onde possibles, 1/11 (x,t)
et 1/1 2 (x,t), pour un système physique, c'est le fait que l'on somme les amplitudes de
probabilités !/Ji (x,t)+!/1 2 (x,t) et non les densités de probabilités 11/1 1 (x,t)l
2 +1!/1 2 (x,t)i
2 ,
qui permet de rendre compte des phénomènes d' interférences d' ondes de matière:
(14.13)
interférences
où!/!~ représente le complexe conjugué du nombre 1/11 .
14.5 EXEMPLE 2 : LE PUITS CARRÉ INFINI
On considère, comme dans la section 13.2, une particule se déplaçant le long de l'axe
Ox et soumise à un potentiel V(x) qui est infini pour x < 0, nul pour 0 ::; x ::; L
et à nouveau infini pour x > L. Il s'agit d'une particule libre entre deux « murs»
situés en x = 0 et x = L, qu'elle ne peut en aucune manière franchir, quelle que soit
son énergie cinétique (figure 13.11 ). Nous allons maintenant approfondir l'approche
de la section 13.2 en cherchant l' ensemble des solutions possibles de l'équation de
Schrodinger pour la fonction d' onde l/f(x,t).
La particule a une probabilité nulle de se trouver « de 1' autre côté des murs »,
donc !/f(x,t) = 0 pour x < 0 et x > L pour tout t. On en déduit par continuité que
!/f(O,t) = !/f(L,t) = O. On cherche donc une fonction complexe !/f(x,t) de norme 1
Cf ll/J(x ,t)l 2 dx = 1) satisfaisant à l'équation de Schrodinger:
a
n2 a2
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(14.14)
pour x appartenant à l' intervalle [O,L], et nulle en 0 et L.
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14.5.1 Recherche de solutions particulières d'énergie
donnée
Comme E = 1ïw, nous allons chercher des solutions «monochromatiques», de pulsation w donnée, donc de la forme :
!/f(x ,t) = cp(x)e-Œr/n
(14.15)
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