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14.4. Exemple 1 : la particule libre
14.4 EXEMPLE 1 : LA PARTICULE LIBRE
14.4. l Onde plane unique
Considérons une particule libre, de masse m, évoluant selon la direction x avec la
vitesse v > O. Conformément à la section précédente, elle est décrite par une onde
plane:
ijt(x,t) = l.ftoefi (14.8)
où l'énergie E est égale à son énergie cinétique ~mv
2 puisque V= O.
Comme souligné précédemment, la particule ainsi décrite est délocalisée dans
tout l'espace puisque le module au carré de ijt(x,t) ne dépend ni de x ni de t :
11.ft(x,t)l 2 = li./tol 2 .
14.4.2 Superposition d'ondes planes
Revenons à l'exemple de l' interférence d'électrons décrite à la section 13.1.4 (figure 13.8). Le fil électrique chargé dévie vers la droite un électron se propageant le
long de Oz et passant à gauche du fil, et vers la gauche un électron passant à droite de
celui-ci. On peut considérer, en première approximation, qu'en dessous du fil, l'électron est décrit par la somme de deux ondes planes, l'une correspondant à la particule
de vitesse v dont la direction fait un angle-() avec l' axe Oz:
(
imv
.
/ )
i./t1 (r,t) = l.fto exp p;-(z cos() - x sm 8) - iEt n
(14.9)
et l'autre correspondant à la particule de vitesse v dont la direction fait un angle +()
avec l'axe Oz :
imv
i./t2(r,t) = l.fto exp( p;-(z cos()+ x sin 8) - iEt/n))
(14.10)
Il y a donc analogie parfaite avec le calcul d'interférences lumineuses fait dans le cas
du biprisme au chapitre 1 O.
Dans la région de recouvrement de ces ondes, l'électron a pour fonction d'onde:
1
-~
(imvzcos()- iEt)
(mvxsin() )
ijt(r,t) = Y2(1./t1 + i./t2) = v21.fto exp
n
cos
n
(14.11)
La probabilité P(r,t) = ll.ftl 2 de présence de l'électron au point r vaut donc:
2
2 ( mvxsin () )
P(r,t) = 211.ftol . cos
n
(14.12)
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