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> a.
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Chapitre 14 • Évolution temporelle de la fonction d'onde
(exactement comme en électromagnétisme). D'une part, l'équation de Schrodinger
étant linéaire, si l' on sait comment évolue une onde plane, on sait comment évolue toute somme (continue ou discrète) d'ondes planes, c' est-à-dire finalement toute
fonction d'onde. D'autre part, une onde plane peut souvent être utilisée comme première approximation d'une fonction d'onde décrivant une particule de vitesse p/11Z
délocalisée dans une zone étendue de l'espace.
14.3.2 Équation d'évolution pour la fonction d'onde
Remarquons que pour toute onde plane de matière (14.4) :
a2
1n2V2
- 2
1/J(r,t) = ---:f l/J(r,t)
ax
n
(14.5)
où Vx est la composante de la vitesse selon x.
Considérons alors le cas où la particule est soumise à une force dérivant d'un
potentiel (comme le potentiel gravitationnel par exemple, ou le potentiel électrique).
Son énergie E est la somme de 1 'énergie cinétique et de 1 'énergie potentielle
1 que
nous noterons V(r), donc E s'écrit:
(14.6)
En multipliant les deux membres de cette relation par l/J(r,t) et en utilisant (14.5),
on obtient une équation satisfaite par toutes les ondes planes de matière, quelles que
soient leur énergie et leur vitesse :
a
n
2 ( a
2 a
2 a
2 )
i"li-a l/J(r,t) = - -
2
- 2 + - 2 + - 2 l/J(r,t) + V(r)l/J(r,t)
t
ln ax ay az
(14.7)
C'est une équation linéaire en l/J, qui est donc aussi satisfaite par toutes les superpositions linéaires d'ondes planes, et donc par toutes les fonctions d'onde de la
particule. On l'appelle équation de Schrodinger.
Nous allons maintenant résoudre cette équation dans trois configurations particulières de potentiel : la particule libre, le puits carré infini, et la marche de potentiel.
1. Par exemple, le potentiel V s'écrit V = +mgz dans le cas d' une particule de masse m dans un champ
gravitationnel uniforme g, de sens opposé au vecteur unitaire défini ssant l'axez.
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Chapitre 14 • Évolution temporelle de la fonction d'onde
(exactement comme en électromagnétisme). D'une part, l'équation de Schrodinger
étant linéaire, si l' on sait comment évolue une onde plane, on sait comment évolue toute somme (continue ou discrète) d'ondes planes, c' est-à-dire finalement toute
fonction d'onde. D'autre part, une onde plane peut souvent être utilisée comme première approximation d'une fonction d'onde décrivant une particule de vitesse p/11Z
délocalisée dans une zone étendue de l'espace.
14.3.2 Équation d'évolution pour la fonction d'onde
Remarquons que pour toute onde plane de matière (14.4) :
a2
1n2V2
- 2
1/J(r,t) = ---:f l/J(r,t)
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(14.5)
où Vx est la composante de la vitesse selon x.
Considérons alors le cas où la particule est soumise à une force dérivant d'un
potentiel (comme le potentiel gravitationnel par exemple, ou le potentiel électrique).
Son énergie E est la somme de 1 'énergie cinétique et de 1 'énergie potentielle
1 que
nous noterons V(r), donc E s'écrit:
(14.6)
En multipliant les deux membres de cette relation par l/J(r,t) et en utilisant (14.5),
on obtient une équation satisfaite par toutes les ondes planes de matière, quelles que
soient leur énergie et leur vitesse :
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(14.7)
C'est une équation linéaire en l/J, qui est donc aussi satisfaite par toutes les superpositions linéaires d'ondes planes, et donc par toutes les fonctions d'onde de la
particule. On l'appelle équation de Schrodinger.
Nous allons maintenant résoudre cette équation dans trois configurations particulières de potentiel : la particule libre, le puits carré infini, et la marche de potentiel.
1. Par exemple, le potentiel V s'écrit V = +mgz dans le cas d' une particule de masse m dans un champ
gravitationnel uniforme g, de sens opposé au vecteur unitaire défini ssant l'axez.
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