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14.3. Équation de Schrôdinger pour la fonction d'onde
14.3 ÉQUATION DE SCHRÔDINGER
POUR LA FONCTION D'ONDE
Comme pour toute onde, le lien entre la variable x et le paramètre t découle directement de la relation entre la pulsation w et le vecteur d'onde k = llkll, c'est-à-dire
de la relation entre l' énergie E et la quantité de mouvement p. Cette relation, appelée relation de dispersion, est très importante pour savoir comment évolue une onde
réelle, c'est-à-dire une onde composée de plusieurs ondes élémentaires (planes, par
exemple).
Pour une particule libre de matière, on a simplement E = p
2 /2m ce qui conduit à la
relation de dispersion w = 1ik
2 /2m . En revanche, pour un photon ou toute particule de
masse nulle, on a E = llPll c, et la relation de dispersion s'écrit simplement w = llkll c.
14.3. l Onde plane de matière
On considère une particule de masse m, de vitesse v, et d' énergie E bien déterminées.
On lui associe une onde dont la pulsation et le vecteur d'onde sont donnés par (1 3.1 ).
On postule que la fonction d'onde décrivant un tel état quantique s'écrit:
l/J(r,t) = !/Io exp(ik · r - iwt) = !/Io exp (~(p · r - Et))
(14.4)
où !/Io est fixé, à un facteur de phase près, par la condition de normalisation à 1.
Cette forme est « plausible », car elle ressemble à l'onde plane lumineuse du chapitre 2. Remarquons toutefois que le champ électromagnétique de 1 'onde lumineuse
est une quantité réelle, et que l' on n' utilise le champ complexe que par commodité de
calcul, alors que l'onde de matière est nécessairement décrite par une exponentielle
complexe. On peut justifier cette différence par le fait que l'énergie E d'une particule n'est définie qu'à une constante additive près. Un décalage global en énergie
E --7 E + Eo pour la particule se traduit sur la fonction d'onde par la multiplication
par le facteur de phase e - iEot/li, qui ne change pas les prévisions physiques sur la particule. Il n'en est pas de même sur la forme réelle, en cosinus, de l'onde lumineuse,
qui, étant proportionnelle à la force électrique, quantité mesurable, n'a pas la même
invariance par changement de phase.
Remarquons que pour l'onde plane de matière (1 4.4) ll/J(r,t)l
2 = l!/101
2 ne dépend
ni der ni de t. La probabilité de présence d' une particule de vitesse v et d'énergie E
bien déterminées est la même en tout point : on dit que la particule est délocalisée.
Il est à noter qu'une onde plane n'est pas véritablement une fo nction d'onde puisqu'elle n'est pas de carré sommable (l'intégrale de son module au carré vaut l'infini).
En fait seule une somme (continue) d'ondes planes peut vérifier cette condition. Il
n'en reste pas moins que les ondes planes sont très utiles d'un point de vue pratique
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14.3 ÉQUATION DE SCHRÔDINGER
POUR LA FONCTION D'ONDE
Comme pour toute onde, le lien entre la variable x et le paramètre t découle directement de la relation entre la pulsation w et le vecteur d'onde k = llkll, c'est-à-dire
de la relation entre l' énergie E et la quantité de mouvement p. Cette relation, appelée relation de dispersion, est très importante pour savoir comment évolue une onde
réelle, c'est-à-dire une onde composée de plusieurs ondes élémentaires (planes, par
exemple).
Pour une particule libre de matière, on a simplement E = p
2 /2m ce qui conduit à la
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masse nulle, on a E = llPll c, et la relation de dispersion s'écrit simplement w = llkll c.
14.3. l Onde plane de matière
On considère une particule de masse m, de vitesse v, et d' énergie E bien déterminées.
On lui associe une onde dont la pulsation et le vecteur d'onde sont donnés par (1 3.1 ).
On postule que la fonction d'onde décrivant un tel état quantique s'écrit:
l/J(r,t) = !/Io exp(ik · r - iwt) = !/Io exp (~(p · r - Et))
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où !/Io est fixé, à un facteur de phase près, par la condition de normalisation à 1.
Cette forme est « plausible », car elle ressemble à l'onde plane lumineuse du chapitre 2. Remarquons toutefois que le champ électromagnétique de 1 'onde lumineuse
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calcul, alors que l'onde de matière est nécessairement décrite par une exponentielle
complexe. On peut justifier cette différence par le fait que l'énergie E d'une particule n'est définie qu'à une constante additive près. Un décalage global en énergie
E --7 E + Eo pour la particule se traduit sur la fonction d'onde par la multiplication
par le facteur de phase e - iEot/li, qui ne change pas les prévisions physiques sur la particule. Il n'en est pas de même sur la forme réelle, en cosinus, de l'onde lumineuse,
qui, étant proportionnelle à la force électrique, quantité mesurable, n'a pas la même
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Remarquons que pour l'onde plane de matière (1 4.4) ll/J(r,t)l
2 = l!/101
2 ne dépend
ni der ni de t. La probabilité de présence d' une particule de vitesse v et d'énergie E
bien déterminées est la même en tout point : on dit que la particule est délocalisée.
Il est à noter qu'une onde plane n'est pas véritablement une fo nction d'onde puisqu'elle n'est pas de carré sommable (l'intégrale de son module au carré vaut l'infini).
En fait seule une somme (continue) d'ondes planes peut vérifier cette condition. Il
n'en reste pas moins que les ondes planes sont très utiles d'un point de vue pratique
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