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Chapitre 14 • Évolution temporelle de la fonction d'onde
• sa dérivée spatiale doit être continue partout, sauf en un nombre fini de points
isolés (par exemple, là où l'énergie potentielle est infinie, comme dans le cas des
bords du puits carré infini vu au chapitre précédent).
• la probabilité de détecter la particule entre les points x 1 et x 2 vaut rx
2 dx11/J (x,t) 1 2
J x1
(interprétation de Born vue au chapitre précédent).
• 1/J (x,t) doit être de carré sommable (condition de normalisation) :
+=
J Il/! (x,t)l
2 dx = 1
(14.2)
-=
ce qui traduit simplement le fait que l'on est sûr (c'est-à-dire avec une probabilité
égale à un) de détecter l'objet physique en question quelque part le long de l' axe x.
14.2 COMMENTAIRES
216
1. Mathématiquement, les propriétés ci-dessus ne traduisent rien d'autre que le
fait que les fonctions d'onde appartiennent à un espace vectoriel : l' espace
vectoriel de Hilbert des fonctions complexes, continues, de carré sommable
(que l'on note L 2 (R) à une dimension d' espace et L 2 (R 3 ) à trois dimensions
d'espace). Cet espace vectoriel est appelé espace d es états de la particule matérielle.
2. Comme pour tout type d'onde, les fonctions d'onde obéissent à un principe
de superposition : si 1/11 (x,t) et 1/12 (x,t) sont deux fonctions d ' onde possibles
pour un système, alors toute combinaison linéaire (à coefficients complexes,
normalisée à un) de ces fonctions d' onde est aussi une fonction d'onde possible
pour ce système.
3. Le produit scalaire (lf'1W'2) de deux vecteurs d'état llf'1) et llf' 2) s'exprime en
fonction des deux fonctions d'onde associées par
(14.3)
où 1/J~ (x) est le complexe conjugué du nombre complexe 1/f 1 (x).
4. Si on utilise un détecteur de position « non destructif », qui n' absorbe pas la
particule lorsqu' il la détecte (comme la chambre à fils des physiciens des particules), et que le détecteur Dn « clique », la particule après la mesure est dans
l'état conditionnel lxn) introduit dans l'encart du chapitre précédent (c'est-àdire lx) à la limite continue) quel que soit l'état de la particule incidente. On
parle de réduction ou de projection dans l' état lxn>·
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Chapitre 14 • Évolution temporelle de la fonction d'onde
• sa dérivée spatiale doit être continue partout, sauf en un nombre fini de points
isolés (par exemple, là où l'énergie potentielle est infinie, comme dans le cas des
bords du puits carré infini vu au chapitre précédent).
• la probabilité de détecter la particule entre les points x 1 et x 2 vaut rx
2 dx11/J (x,t) 1 2
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(interprétation de Born vue au chapitre précédent).
• 1/J (x,t) doit être de carré sommable (condition de normalisation) :
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2 dx = 1
(14.2)
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ce qui traduit simplement le fait que l'on est sûr (c'est-à-dire avec une probabilité
égale à un) de détecter l'objet physique en question quelque part le long de l' axe x.
14.2 COMMENTAIRES
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1. Mathématiquement, les propriétés ci-dessus ne traduisent rien d'autre que le
fait que les fonctions d'onde appartiennent à un espace vectoriel : l' espace
vectoriel de Hilbert des fonctions complexes, continues, de carré sommable
(que l'on note L 2 (R) à une dimension d' espace et L 2 (R 3 ) à trois dimensions
d'espace). Cet espace vectoriel est appelé espace d es états de la particule matérielle.
2. Comme pour tout type d'onde, les fonctions d'onde obéissent à un principe
de superposition : si 1/11 (x,t) et 1/12 (x,t) sont deux fonctions d ' onde possibles
pour un système, alors toute combinaison linéaire (à coefficients complexes,
normalisée à un) de ces fonctions d' onde est aussi une fonction d'onde possible
pour ce système.
3. Le produit scalaire (lf'1W'2) de deux vecteurs d'état llf'1) et llf' 2) s'exprime en
fonction des deux fonctions d'onde associées par
(14.3)
où 1/J~ (x) est le complexe conjugué du nombre complexe 1/f 1 (x).
4. Si on utilise un détecteur de position « non destructif », qui n' absorbe pas la
particule lorsqu' il la détecte (comme la chambre à fils des physiciens des particules), et que le détecteur Dn « clique », la particule après la mesure est dans
l'état conditionnel lxn) introduit dans l'encart du chapitre précédent (c'est-àdire lx) à la limite continue) quel que soit l'état de la particule incidente. On
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