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Chapitre 13 • Ondes de matière : une introduction à la fonction d'onde
13.3.3 Interdiction du repos total
Imaginons une particule au repos, donc arrêtée en un point donné de 1' espace et de
vitesse nulle : on connait donc parfaitement à la fois sa vitesse et sa position, ce qui
est interdit par l'inégalité de Heisenberg. Un tel état n'existe pas dans le cadre d'une
description quantique. C'est la raison pour laquelle l'état quantique de plus basse
énergie de la boîte quantique n'est pas d'énergie nulle.
On peut faire un raisonnement plus précis : dans une boîte quantique l' incertitude tu sur la position de la particule est inférieure ou égale à la taille a de la boîte.
L'inégalité de Heisenberg implique donc que l'incertitude sur la vitesse Livx est supérieure à n/(2ma). Dans un état stationnaire du système, par raison de symétrie, la
vitesse moyenne < Vx > est nulle et donc < v; > = Li
2 vx - < Vx >
2 = Li
2 vx. Donc
dans tout état stationnaire de la boîte, 1 'énergie cinétique moyenne m < v; > /2 est
supérieure ou égale à n
2 /(8ma
2 ), ce qui donne le bon ordre de grandeur de l'énergie
minimale E1.
13.3.4 Lien avec la diffraction
L'inégalité de Heisenberg est en fait une conséquence du caractère ondulatoire de la
matière quantique. On peut s'en persuader par l'exemple suivant où on la relie à un
phénomène ondulatoire bien connu, celui de la diffraction introduite à la section 13 .1 :
une onde de longueur d'onde À se propageant le long de l'axe Oz et incidente sur un
trou de dimension d le long de Ox percé dans un écran absorbant situé dans le plan
xOy (figure 13.1) donne naissance de l'autre côté de l'écran à une onde divergente
s'écartant de Oz d ' un angle maximal Bm donné par:
.
À
smBm ~ -
d
(13.19)
Ce phénomène de diffraction est commun à tous les phénomènes ondulatoires (lumière, son, vagues sur l'eau .. ) et existe aussi pour les ondes de matière. Lorsqu'une
particule de masse m et de vitesse v le long de Oz est incidente sur l' écran décrit
ci-dessus, son onde de matière diffracte à la sortie du trou selon la même loi (1 3 .19)
avec À = ÀdB·
Considérons l'état quantique du système juste après le trou. Dans cet état, la particule possède une fonction d'onde qui est non nulle uniquement au niveau du trou,
donc où la position le long de l'axe Ox de la particule est définie avec un écart-type Lix
égal à d. À cause de la diffraction, la particule après l'écran dévie d'un angle aléatoire
a par rapport à Oz, positif ou négatif, inférieur en module à l'angle de diffraction Œm.
Elle acquiert donc une composante de vitesse selon la direction Ox qui est aléatoire
et vaut usina. L'écart type sur Vx , Livx, est donc de l' ordre de vsinam. On a ainsi:
(13.20)
On retrouve ici un produit mLÎVxLÎX de l' ordre den.
212
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Chapitre 13 • Ondes de matière : une introduction à la fonction d'onde
13.3.3 Interdiction du repos total
Imaginons une particule au repos, donc arrêtée en un point donné de 1' espace et de
vitesse nulle : on connait donc parfaitement à la fois sa vitesse et sa position, ce qui
est interdit par l'inégalité de Heisenberg. Un tel état n'existe pas dans le cadre d'une
description quantique. C'est la raison pour laquelle l'état quantique de plus basse
énergie de la boîte quantique n'est pas d'énergie nulle.
On peut faire un raisonnement plus précis : dans une boîte quantique l' incertitude tu sur la position de la particule est inférieure ou égale à la taille a de la boîte.
L'inégalité de Heisenberg implique donc que l'incertitude sur la vitesse Livx est supérieure à n/(2ma). Dans un état stationnaire du système, par raison de symétrie, la
vitesse moyenne < Vx > est nulle et donc < v; > = Li
2 vx - < Vx >
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dans tout état stationnaire de la boîte, 1 'énergie cinétique moyenne m < v; > /2 est
supérieure ou égale à n
2 /(8ma
2 ), ce qui donne le bon ordre de grandeur de l'énergie
minimale E1.
13.3.4 Lien avec la diffraction
L'inégalité de Heisenberg est en fait une conséquence du caractère ondulatoire de la
matière quantique. On peut s'en persuader par l'exemple suivant où on la relie à un
phénomène ondulatoire bien connu, celui de la diffraction introduite à la section 13 .1 :
une onde de longueur d'onde À se propageant le long de l'axe Oz et incidente sur un
trou de dimension d le long de Ox percé dans un écran absorbant situé dans le plan
xOy (figure 13.1) donne naissance de l'autre côté de l'écran à une onde divergente
s'écartant de Oz d ' un angle maximal Bm donné par:
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Ce phénomène de diffraction est commun à tous les phénomènes ondulatoires (lumière, son, vagues sur l'eau .. ) et existe aussi pour les ondes de matière. Lorsqu'une
particule de masse m et de vitesse v le long de Oz est incidente sur l' écran décrit
ci-dessus, son onde de matière diffracte à la sortie du trou selon la même loi (1 3 .19)
avec À = ÀdB·
Considérons l'état quantique du système juste après le trou. Dans cet état, la particule possède une fonction d'onde qui est non nulle uniquement au niveau du trou,
donc où la position le long de l'axe Ox de la particule est définie avec un écart-type Lix
égal à d. À cause de la diffraction, la particule après l'écran dévie d'un angle aléatoire
a par rapport à Oz, positif ou négatif, inférieur en module à l'angle de diffraction Œm.
Elle acquiert donc une composante de vitesse selon la direction Ox qui est aléatoire
et vaut usina. L'écart type sur Vx , Livx, est donc de l' ordre de vsinam. On a ainsi:
(13.20)
On retrouve ici un produit mLÎVxLÎX de l' ordre den.
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