"'O
0
c
:J
0
lil
~
.-t
""'
0
"
N
=
@
"'
"
"
.......
'"
..c
·C
O'l
0
=
·;::::
"'
>"
a.
0
0
"
"
u
.3
ü
=
""' 2 o..
2
.!:!
=
~
-0
0
" =
Ci
@
13.3. Inégalités de Heisenberg
13.3.2 Inégalité de Heisenberg position-impulsion
Il est aussi possible, comme nous le verrons plus en détail dans le chapitre suivant,
de faire une mesure de la vitesse de la particule, et en particulier de sa composante Vx
le long de l'axe Ox. Cette mesure donne aussi des résultats généralement incertains,
avec une loi de probabilité connue qui s'exprime elle aussi en fonction de la fonction
d'onde l/t(x,t) du système. Cette dépendance commune de deux types de mesure par
rapport à une même fonction induit des contraintes sur les caractéristiques de ces
mesures. Une démonstration mathématique permet d'établir le résultat suivant:
Dans n 'importe quel état quantique, les écarts-types relatifs aux mesures de position et de vitesse dans le même état obéissent à l'inégalité:
(13.16)
Cet énoncé est parfois appelé, principe d' incertitude, doublement à tort car d'une
part il laisse penser que cette inégalité résulte d'une imprécision expérimentale alors
qu'en fait elle est de nature fondamentale, et d'autre part il ne s'agit pas d'un nouveau
principe de la théorie, mais une propriété mathématique se déduisant des principes
déjà énoncés. Il serait préférable de parler d'indéterminations quantiques ilx et ilvx
vérifiant, avec certitude, la relation (13.16).
L'inégalité de Heisenberg (1 3.16) implique qu ' un état dans lequel la position de
la particule est parfaitement définie (ilx = 0) présente une dispersion infinie sur la
mesure de sa vitesse (ilvx = oo ), et qu'un état dans lequel la vitesse de la particule
est parfaitement définie (ilvx = 0) présente une dispersion infinie sur la mesure de
sa position (ilx = oo ). Elle exclut tout état pour lequel on aurait ilx = ilvx = 0,
ce qui entraîne qu'on ne peut pas connaître avec certitude à la fois la position et la
vitesse d'une particule. Elle condamne donc toute notion de trajectoire précise de la
particule dans un état quantique.
Mentionnons qu'en outre pour des états quantiques de basse énergie, le produit
milvilx est souvent de l'ordre de fî .
La relation de Heisenberg ne concerne que les indéterminations suivant la même
direction de l'espace et au même instant. Ainsi, on a aussi, suivant les axes y et z:
1î
mt:. yt:.vy ~ 2
1î
mt:.zt:.v 2 ~ "2
(13.17)
(13.18)
mais il n'existe pas de condition similaire entre t:.x et t:.vy par exemple, ou entre t:.x et
t:.y, ou t:.vx et t:.v 2 •• • ce qui autorise, par exemple, de réaliser des mesures infiniment
précises de la position d'une particule suivant l'axe x et de sa vitesse suivant l'axe y .
211
0
c
:J
0
lil
~
.-t
""'
0
"
N
=
@
"'
"
"
.......
'"
..c
·C
O'l
0
=
·;::::
"'
>"
a.
0
0
"
"
u
.3
ü
=
""' 2 o..
2
.!:!
=
~
-0
0
" =
Ci
@
13.3. Inégalités de Heisenberg
13.3.2 Inégalité de Heisenberg position-impulsion
Il est aussi possible, comme nous le verrons plus en détail dans le chapitre suivant,
de faire une mesure de la vitesse de la particule, et en particulier de sa composante Vx
le long de l'axe Ox. Cette mesure donne aussi des résultats généralement incertains,
avec une loi de probabilité connue qui s'exprime elle aussi en fonction de la fonction
d'onde l/t(x,t) du système. Cette dépendance commune de deux types de mesure par
rapport à une même fonction induit des contraintes sur les caractéristiques de ces
mesures. Une démonstration mathématique permet d'établir le résultat suivant:
Dans n 'importe quel état quantique, les écarts-types relatifs aux mesures de position et de vitesse dans le même état obéissent à l'inégalité:
(13.16)
Cet énoncé est parfois appelé, principe d' incertitude, doublement à tort car d'une
part il laisse penser que cette inégalité résulte d'une imprécision expérimentale alors
qu'en fait elle est de nature fondamentale, et d'autre part il ne s'agit pas d'un nouveau
principe de la théorie, mais une propriété mathématique se déduisant des principes
déjà énoncés. Il serait préférable de parler d'indéterminations quantiques ilx et ilvx
vérifiant, avec certitude, la relation (13.16).
L'inégalité de Heisenberg (1 3.16) implique qu ' un état dans lequel la position de
la particule est parfaitement définie (ilx = 0) présente une dispersion infinie sur la
mesure de sa vitesse (ilvx = oo ), et qu'un état dans lequel la vitesse de la particule
est parfaitement définie (ilvx = 0) présente une dispersion infinie sur la mesure de
sa position (ilx = oo ). Elle exclut tout état pour lequel on aurait ilx = ilvx = 0,
ce qui entraîne qu'on ne peut pas connaître avec certitude à la fois la position et la
vitesse d'une particule. Elle condamne donc toute notion de trajectoire précise de la
particule dans un état quantique.
Mentionnons qu'en outre pour des états quantiques de basse énergie, le produit
milvilx est souvent de l'ordre de fî .
La relation de Heisenberg ne concerne que les indéterminations suivant la même
direction de l'espace et au même instant. Ainsi, on a aussi, suivant les axes y et z:
1î
mt:. yt:.vy ~ 2
1î
mt:.zt:.v 2 ~ "2
(13.17)
(13.18)
mais il n'existe pas de condition similaire entre t:.x et t:.vy par exemple, ou entre t:.x et
t:.y, ou t:.vx et t:.v 2 •• • ce qui autorise, par exemple, de réaliser des mesures infiniment
précises de la position d'une particule suivant l'axe x et de sa vitesse suivant l'axe y .
211