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Chapitre 13 • Ondes de matière : une introduction à la fonction d'onde
dans le cas où la particule a franchi le trou, son état conditionnel après traversée
de l'écran est l'état Jxn), indépendant de l'état incident.
Pour connaître le plus précisément possible la position de la particule, on diminue
la taille Xn+i - Xn des détecteurs. Lorsque celle-ci tend vers zéro (et le nombre de
détecteurs vers l'infini), on passe à la limite continue en remplaçant par une
intégrale la somme dans (13.14), et l'on écrit :
llJ'l(t)) = J: dxtf!(x,t)lx)
( L3. 15)
lx) étant l'état de la particule qui est détectée à coup sûr par un détecteur de
taille infinitésimale dx situé en x. ltf/) est donc défini par la donnée de la fonction
complexe tf!(x,t), appelée fonction d'onde. Si la particule incidente est dans l'état
ltf/) elle sera détectée aléatoirement par l'un de ces détecteurs, ltf!(x,t)l
2 dx étant
la probabilité de détection de la particule à l'instant t et entre les positions x et
x+dx.
13.3 INÉGALITÉS DE HEISENBERG
Nous avons vu que la fonction d' onde ne contient qu'une information de type probabiliste sur les résultats de mesure de position que 1' on peut faire sur le système.
Sauf cas très particulier, la valeur de la position mesurée ne sera donc pas certaine,
et si 1' on fait des mesures répétées sur le système quantique toujours préparé dans le
même état quantique, on enregistrera des résultats fluctuants. Nous allons maintenant
préciser les contraintes qui existent sur ces fluctuations.
1 3.3.1 Écart-type
Prenons comme exemple la mesure de la position le long de l'axe Ox. La valeur
trouvée x est une grandeur aléatoire dont la loi de probabilité est P(x) = lt/J(x,t)l
2 . La
valeur moyenne (ou espérance mathématique) < x > et l'écart-type ~x des valeurs
mesurées sont donnés par les formules habituelles du calcul des probabilités :
< x >= J xP(x)dx < x2 >= J x
2 P(x)dx
~X = -J < x
2 > - < X > 2
L'écart-type, dans le cas d'une distribution de probabilité formée d'une seule
« bosse », donne une idée de la dispersion des résultats de mesure autour de la valeur moyenne, donc de l'incertitude sur la mesure. C'est alors, en ordre de grandeur,
la « largeur » de la bosse.
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Chapitre 13 • Ondes de matière : une introduction à la fonction d'onde
dans le cas où la particule a franchi le trou, son état conditionnel après traversée
de l'écran est l'état Jxn), indépendant de l'état incident.
Pour connaître le plus précisément possible la position de la particule, on diminue
la taille Xn+i - Xn des détecteurs. Lorsque celle-ci tend vers zéro (et le nombre de
détecteurs vers l'infini), on passe à la limite continue en remplaçant par une
intégrale la somme dans (13.14), et l'on écrit :
llJ'l(t)) = J: dxtf!(x,t)lx)
( L3. 15)
lx) étant l'état de la particule qui est détectée à coup sûr par un détecteur de
taille infinitésimale dx situé en x. ltf/) est donc défini par la donnée de la fonction
complexe tf!(x,t), appelée fonction d'onde. Si la particule incidente est dans l'état
ltf/) elle sera détectée aléatoirement par l'un de ces détecteurs, ltf!(x,t)l
2 dx étant
la probabilité de détection de la particule à l'instant t et entre les positions x et
x+dx.
13.3 INÉGALITÉS DE HEISENBERG
Nous avons vu que la fonction d' onde ne contient qu'une information de type probabiliste sur les résultats de mesure de position que 1' on peut faire sur le système.
Sauf cas très particulier, la valeur de la position mesurée ne sera donc pas certaine,
et si 1' on fait des mesures répétées sur le système quantique toujours préparé dans le
même état quantique, on enregistrera des résultats fluctuants. Nous allons maintenant
préciser les contraintes qui existent sur ces fluctuations.
1 3.3.1 Écart-type
Prenons comme exemple la mesure de la position le long de l'axe Ox. La valeur
trouvée x est une grandeur aléatoire dont la loi de probabilité est P(x) = lt/J(x,t)l
2 . La
valeur moyenne (ou espérance mathématique) < x > et l'écart-type ~x des valeurs
mesurées sont donnés par les formules habituelles du calcul des probabilités :
< x >= J xP(x)dx < x2 >= J x
2 P(x)dx
~X = -J < x
2 > - < X > 2
L'écart-type, dans le cas d'une distribution de probabilité formée d'une seule
« bosse », donne une idée de la dispersion des résultats de mesure autour de la valeur moyenne, donc de l'incertitude sur la mesure. C'est alors, en ordre de grandeur,
la « largeur » de la bosse.
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