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Chapitre 13 • Ondes de matière : une introduction à la fonction d'onde
Comme elle doit s'annuler en x = 0, c ' est nécessairement un sinus, et comme elle
doit s'annuler en x = L, on doit avoir : sin (2rr L/ Àds) = 0, donc :
n ÀdB = L
1 2
2
n = ' , ...
(13.9)
c'est-à-dire qu'il ne peut y avoir qu'un nombre entier de demi-longueurs d'onde entre
0 et L.
Grâce à (1 3.2) on en déduit l'expression de la vitesse v, puis de l'énergie E = mv
2
/2
de la particule :
h
v=n-2mL
h2
E =En= n
2 - -
8mL2
(13.10)
À la différence du système classique équivalent, l'énergie du système quantique est
donc quanti.fiée. On appelle « niveaux d'énergie» ces différentes valeurs. À chacun
d'entre eux est associée une fonction d' onde de forme bien déterminée, donc un vecteur d 'état l lf'n) bien caractérisé (figure 13. 12). On appelle « état fondamental » l' état
quantique de plus basse énergie, et « états excités » les autres. L'état fondamental est
celui dans lequel se trouve généralement le système en l' absence d'excitation exténeure.
204
0
Fonctions
d'onde
X
L
0
Densités de
probabilité
X
L
Figure 13. l 2 - Premiers niveaux d'énergie, fonctions d'onde associées, et densités de
probabi lité pour un puits de potentiel carré infini de largeur L.
(source libre : http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Particle_in_a_box_wavefunctions.png)