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13.2. Quantification de l'énergie pour une particule confinée
1 3.2. 1 BoÎte quantique à une dimension
Pour simplifier l'analyse, nous supposons que la particule, de masse m, ne peut se
déplacer que le long de l'axe Ox, et nous nous plaçons à un instant t donné. Entre
les points d'abscisse 0 et L, elle n'est soumise à aucune force, mais rencontre en
ces deux points des «murs» infranchissables (figure 13.11 ). Nous verrons dans le
paragraphe 13.2.4 comment réaliser en pratique de tels dispositifs.
V= oo
V= oo
V=oo
V=oo
V=O
0
L
X
Figure 1 3.11 - Puits de potentiel infini. Le potentiel est nul à l'intérieur du puits (entre
x = 0 et x = L) et infini en dehors.
(Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Particule_dans_une_boîte)
Classiquement, la particule est libre entre x = 0 et x = L, donc sa vitesse v est
constante. La particule inverse le signe de sa vitesse lorsqu'elle rencontre l' un des
deux murs, sur lesquels elle «rebondit » élastiquement. Son énergie est uniquement
cinétique E = mv
2 /2. E peut donc prendre n' importe quelle valeur positive, et sa plus
petite valeur possible est 0 (particule au repos en un point quelconque entre 0 et L).
Décrivons maintenant la particule par sa fonction d'onde quantique. La probabilité
de trouver la particule en dehors de l'intervalle [O,a] est nulle, quelle que soit son
énergie cinétique, d'où :
l/f(x < 0) = l/f(x > L) = 0
(13.7)
Nous postulerons que la fonction d'onde l/f(x) est continue, on a donc :
l/f(x = 0) = ljJ(x = L) = 0
(13.8)
Nous cherchons ici une fonction d'onde décrivant une particule de vitesse, donc
de longueur d' onde de de Broglie, donnée. La condition précédente impose une annulation de cette onde en deux points : on est dans une situation analogue à celle de
la corde vibrante retenue en ses deux extrémités (condition dite d'onde stationnaire).
Poursuivant 1 'analogie, on considère une solution sinusoïdale du type sin (2nx/ Âds)
ou cos (2nx/ Âds), où la longueur d'onde de de Broglie ÂdB apparaît naturellement.
203
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déplacer que le long de l'axe Ox, et nous nous plaçons à un instant t donné. Entre
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(Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Particule_dans_une_boîte)
Classiquement, la particule est libre entre x = 0 et x = L, donc sa vitesse v est
constante. La particule inverse le signe de sa vitesse lorsqu'elle rencontre l' un des
deux murs, sur lesquels elle «rebondit » élastiquement. Son énergie est uniquement
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2 /2. E peut donc prendre n' importe quelle valeur positive, et sa plus
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Décrivons maintenant la particule par sa fonction d'onde quantique. La probabilité
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Nous cherchons ici une fonction d'onde décrivant une particule de vitesse, donc
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Poursuivant 1 'analogie, on considère une solution sinusoïdale du type sin (2nx/ Âds)
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