Chapitre 13 • Ondes de matière : une introduction à la fonction d'onde
La fonction complexe l/f(x,t) est ainsi une «onde de probabilité», et le lien ondeparticule est de nature probabiliste. Cette interprétation permet en particulier d' expliquer les expériences décrites dans la section précédente. Elle est l'exact analogue de
ce que l'on a vu dans le chapitre 10 pour le photon : la probabilité de le trouver en
un point donné est proportionnelle au module carré de l'onde lumineuse complexe. Il
y a donc une certaine parenté entre l'onde lumineuse complexe A(x,t), qui nous renseigne sur la probabilité de présence d' un photon unique et la fonction d'onde l/f(x,t)
qui nous renseigne sur la probabilité de présence de la particule considérée.
La forte analogie entre mécanique quantique du photon et mécanique quantique de
la matière et de 1 'électron, déjà contenue dans les relations introduites par de Broglie,
ne doit toutefois pas être poussée trop loin. Elle est plus ténue dès lors qu'on s' intéresse à un faisceau lumineux contenant beaucoup de photons ... De plus, le photon
n'est pas une particule comme les autres : sa masse est nulle et sa vitesse est toujours c. Il en résulte que les équations d'évolution de l'onde lumineuse et de l'onde
de matière sont différentes. Enfin, comme son énergie de masse mc
2 est nulle, le photon est une particule qui peut être facilement créée ou détruite, alors que ce n'est pas
le cas pour l'électron et toute autre particule matérielle.
Dans le chapitre 12, nous avons indiqué dans les postulats généraux qu'à tout système physique était associé un vecteur d'état appartenant à un espace de Hilbert. C'est
évidemment aussi le cas pour une particule matérielle. Il nous faut donc faire le lien
entre la fonction d'onde d'un système matériel l/f(x,t) et son vecteur d'état jr'(t)).
C'est l'objet de l'encart 13.1. Même si ces deux objets sont reliés, il faut prendre
garde à ne pas confondre le vecteur d'état l'l'(t)), vecteur dans l'espace abstrait des
états de la particule (espace de Hilbert), avec la fonction d'onde l/f(x,t), fonction complexe de la variable x, dont l'ensemble des valeurs constitue les «coordonnées généralisées» du vecteur d'état sur la base continue {lx)} définie dans l'encart.
"8
13.2 QUANTIFICATION DE L'ÉNERGIE
c
c5
POUR UNE PARTICULE CONFINÉE
lil
.-t
0
N
@
.......
..c
O'l
·;::::
> a.
0
u
Une propriété capitale des systèmes ondulatoires est l'existence de cavités résonantes
pour ces ondes. Nous avons vu, par exemple, les cavités optiques pour la lumière,
formées de miroirs qui se font face, dans le chapitre 10, et l'exemple des cordes
vibrantes et des tuyaux d'orgue pour l' acoustique est bien connu : ces dispositifs ont
pour point commun de n'entretenir que des ondes dont la fréquence ne prend qu'un
nombre discret de valeurs. En effet, il n'y a interférence constructive entre toutes
les ondes lors de leurs réflexions multiples sur les parois de la cavité que pour des
fréquences bien déterminées. Nous allons voir que c'est aussi le cas pour les ondes
de matière, et grâce à la relation E = hv, la quantification des fréquences entraînera
pour les systèmes quantiques la quantification de 1' énergie.
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La fonction complexe l/f(x,t) est ainsi une «onde de probabilité», et le lien ondeparticule est de nature probabiliste. Cette interprétation permet en particulier d' expliquer les expériences décrites dans la section précédente. Elle est l'exact analogue de
ce que l'on a vu dans le chapitre 10 pour le photon : la probabilité de le trouver en
un point donné est proportionnelle au module carré de l'onde lumineuse complexe. Il
y a donc une certaine parenté entre l'onde lumineuse complexe A(x,t), qui nous renseigne sur la probabilité de présence d' un photon unique et la fonction d'onde l/f(x,t)
qui nous renseigne sur la probabilité de présence de la particule considérée.
La forte analogie entre mécanique quantique du photon et mécanique quantique de
la matière et de 1 'électron, déjà contenue dans les relations introduites par de Broglie,
ne doit toutefois pas être poussée trop loin. Elle est plus ténue dès lors qu'on s' intéresse à un faisceau lumineux contenant beaucoup de photons ... De plus, le photon
n'est pas une particule comme les autres : sa masse est nulle et sa vitesse est toujours c. Il en résulte que les équations d'évolution de l'onde lumineuse et de l'onde
de matière sont différentes. Enfin, comme son énergie de masse mc
2 est nulle, le photon est une particule qui peut être facilement créée ou détruite, alors que ce n'est pas
le cas pour l'électron et toute autre particule matérielle.
Dans le chapitre 12, nous avons indiqué dans les postulats généraux qu'à tout système physique était associé un vecteur d'état appartenant à un espace de Hilbert. C'est
évidemment aussi le cas pour une particule matérielle. Il nous faut donc faire le lien
entre la fonction d'onde d'un système matériel l/f(x,t) et son vecteur d'état jr'(t)).
C'est l'objet de l'encart 13.1. Même si ces deux objets sont reliés, il faut prendre
garde à ne pas confondre le vecteur d'état l'l'(t)), vecteur dans l'espace abstrait des
états de la particule (espace de Hilbert), avec la fonction d'onde l/f(x,t), fonction complexe de la variable x, dont l'ensemble des valeurs constitue les «coordonnées généralisées» du vecteur d'état sur la base continue {lx)} définie dans l'encart.
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13.2 QUANTIFICATION DE L'ÉNERGIE
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POUR UNE PARTICULE CONFINÉE
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Une propriété capitale des systèmes ondulatoires est l'existence de cavités résonantes
pour ces ondes. Nous avons vu, par exemple, les cavités optiques pour la lumière,
formées de miroirs qui se font face, dans le chapitre 10, et l'exemple des cordes
vibrantes et des tuyaux d'orgue pour l' acoustique est bien connu : ces dispositifs ont
pour point commun de n'entretenir que des ondes dont la fréquence ne prend qu'un
nombre discret de valeurs. En effet, il n'y a interférence constructive entre toutes
les ondes lors de leurs réflexions multiples sur les parois de la cavité que pour des
fréquences bien déterminées. Nous allons voir que c'est aussi le cas pour les ondes
de matière, et grâce à la relation E = hv, la quantification des fréquences entraînera
pour les systèmes quantiques la quantification de 1' énergie.
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