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12.4. Évolution des états quantiques
Cette équation se généralise comme dans le paragraphe précédent. Ainsi, en dérivant l'équation (1 2.7) on trouve :
(12.9)
C ' est cette équation qui régit l'évolution de tout vecteur d'état lorsque l'on connait
les propriétés d'énergie du système.
En fait, l'écriture précédente reste encore spécifique, car elle n'est utile que si l'on
connait les états propres de 1' énergie. La représentation matricielle de 1' énergie va
nous permettre de mettre à jour une version plus générale de l'équation d'évolution :
1' équation de Schrodinger.
c) Représentation matricielle et équation de Schrbdinger
La structure de 1 'espace de Hilbert est une structure naturellement vectorielle. Ainsi,
si on considère que l'on connait une base du système physique {llftn)}n=l...N· on sait
que tout état quantique peut s, écrire de la forme : 11/t) = Ln Cn 11/t n>. Connaissant cette
base, la donnée d ' un vecteur d'état est donc complètement équivalente à la donnée
des coefficients complexes en. On peut donc formellement l' écrire sous la forme d'un
vecteur colonne de dimension N:
(12.10)
On revient ainsi à la notation d'origine, celle de la polarisation, mais généralisée à
N dimensions. Cette notation permet de réaliser facilement toutes les opérations de
la mécanique quantique. Par exemple, le produit scalaire hermitien, que nous avons
introduit en section 12.2, s'écrit comme un produit de matrices li gnes et colonnes si
on introduit la notation duale : (l/tl = (c~ ,c; , ... , c~). Pour deux vecteurs d' état li/ta)
et li/th) il vient :
(12.11)
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On retrouve bien la formule du produit scalaire.
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