II. La physique statistique
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Pour réaliser cette dernière intégrale, il faut bien sûr connaître le spectre de toutes
les vibrations possibles du cristal. Dans un matériau contenant plusieurs atomes
par maille il existe des modes optiques et des modes acoustiques conduisant à des
spectres relativement complexes. Cependant les modes optiques correspondent à
des énergies nettement plus grandes que les modes acoustiques qui sont par
conséquent les premiers modes excités par l'agitation thermique. Une première
approximation est obtenue en ne considérant, pour le calcul de la capacité thermique, que les 3 modes acoustiques pour lesquels (aux faibles fréquences tout au
moins) il existe (comme pour les ondes électromagnétiques) une relation de linéarité entre la fréquence et le vecteur d'onde
OJq = sq
où s est la vitesse du son dans le matériau.
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Il convient ensuite de simplifier l'intégration, en remplaçant la forme complexe
(un polyèdre) de la zone de Brillouin par une sphère de rayon q0 contenant le
même nombre de points q (en fait N points où N est le nombre de mailles) que
cette zone de Brillouin. Il vient alors
V 4 3
N=--1llJD
8JZ"3 3
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Ainsi, la capacité calorifique associée aux 3 modes de vibrations acoustiques
(d'où le facteur 3 supplémentaire) est donnée par
( li
)2 nmq I kT
Cv = ôU = 3 V
f OJq e
4nq2dq
ôI'
81Z"3kT2 (enmq lkT -l)2
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En introduisant le vecteur de coupure q0 dans l'intégrale précédente puis en introduisant la température de Debye
il vient directement
E> = liOJD
k
( T)3 0/T 4 z
Cv =3Nk 0 3 l (e: ~lJ dz
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C'est la formule de Debye exprimant la capacité calorifique en fonction de la
température. (cf. figure 13).