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Physique des systèmes complexes
que de l'énergie cinétique puisque les particules sont sans interaction) peut
s'écrire
(1)
où N est le nombre de particules. On a montré au chapitre précédent que la température était une quantité proportionnelle à l'énergie cinétique moyenne de chaque
particule du système et puisque les trois degrés de liberté sont équiprobables, on a
attribué à chacun d'entre eux la quantité KT/2 joules où K est la constante de Boltzmann. Ainsi, dans le cas d'un gaz parfait monoatomique, l'énergie interne est
donnée par
3
3
U = N-kT =-nRT
2
2
(2)
où l'on a introduit la constante des gaz parfaits R égale au produit du nombre
d' Avogadro par la constante de Boltzmann et où le facteur 3 est introduit pour
tenir compte des trois degrés de liberté de translation.
Dans un solide, l'interprétation est identique et la température reflète bien
l'énergie cinétique moyenne de chaque particule. Cependant, les atomes du solide
vibrent autour de positions d'équilibre et sont en interaction avec leurs voisins par
l'intermédiaire des électrons qui assurent la cohésion cristalline. Il en résulte
l'existence d'ondes acoustiques dont l'énergie est quantifiée sous forme de
pseudo-particules appelées « phonons ». et dont l'énergie vaut fiw. Or le nombre
nq de phonons associé à une valeur donnée de l'énergie est donné par la statistique
de Bose Einstein
1
n = - - - - -
q /tmq /kT -l
(3)
Il est possible de calculer 1' énergie totale associée aux vibrations de réseau
fiOJq
U = L nmq lkT 1
q e
-
(4)
Cependant, tous les modes de vibrations ne sont pas permis et seules les longueurs
d'onde comprises un nombre entier de fois dans les dimensions du cristal correspondent à des ondes stables. Ce point indique qu'il est possible de définir les seuls
vecteurs d'onde possibles par leur densité d'états §7.4-(3). Cette densité d'états nq
permet de transformer la somme sur les différents modes de vibration en intégrale.
Ainsi, l'énergie totale associée aux vibrations de réseau est donnée par
V f fiOJq 3
V=dq
8 1'3 e nmq I kT _ 1
(5)
et la capacité calorifique par unité de volume est donnée par
Physique des systèmes complexes
que de l'énergie cinétique puisque les particules sont sans interaction) peut
s'écrire
(1)
où N est le nombre de particules. On a montré au chapitre précédent que la température était une quantité proportionnelle à l'énergie cinétique moyenne de chaque
particule du système et puisque les trois degrés de liberté sont équiprobables, on a
attribué à chacun d'entre eux la quantité KT/2 joules où K est la constante de Boltzmann. Ainsi, dans le cas d'un gaz parfait monoatomique, l'énergie interne est
donnée par
3
3
U = N-kT =-nRT
2
2
(2)
où l'on a introduit la constante des gaz parfaits R égale au produit du nombre
d' Avogadro par la constante de Boltzmann et où le facteur 3 est introduit pour
tenir compte des trois degrés de liberté de translation.
Dans un solide, l'interprétation est identique et la température reflète bien
l'énergie cinétique moyenne de chaque particule. Cependant, les atomes du solide
vibrent autour de positions d'équilibre et sont en interaction avec leurs voisins par
l'intermédiaire des électrons qui assurent la cohésion cristalline. Il en résulte
l'existence d'ondes acoustiques dont l'énergie est quantifiée sous forme de
pseudo-particules appelées « phonons ». et dont l'énergie vaut fiw. Or le nombre
nq de phonons associé à une valeur donnée de l'énergie est donné par la statistique
de Bose Einstein
1
n = - - - - -
q /tmq /kT -l
(3)
Il est possible de calculer 1' énergie totale associée aux vibrations de réseau
fiOJq
U = L nmq lkT 1
q e
-
(4)
Cependant, tous les modes de vibrations ne sont pas permis et seules les longueurs
d'onde comprises un nombre entier de fois dans les dimensions du cristal correspondent à des ondes stables. Ce point indique qu'il est possible de définir les seuls
vecteurs d'onde possibles par leur densité d'états §7.4-(3). Cette densité d'états nq
permet de transformer la somme sur les différents modes de vibration en intégrale.
Ainsi, l'énergie totale associée aux vibrations de réseau est donnée par
V f fiOJq 3
V=dq
8 1'3 e nmq I kT _ 1
(5)
et la capacité calorifique par unité de volume est donnée par