Il. La physique statistique
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se propager dans un tel espace sont donc celles qui offrent des nœuds d'élongation
aux parois des solides, sinon elles communiqueraient leur énergie à l'extérieur. En
pratique, elles correspondent aux ondes «stationnaires» dont la demi-longueur
d'onde est comprise un nombre entier de fois dans la longueur du cristal. Mathématiquement, ces ondes stationnaires ne sont pas très commodes pour le calcul
des propriétés qu'elles impliquent dans le cristal. Comme nous l'avons vu dans le
cas de l'étude des états d'énergie électroniques, il est plus avantageux de considérer les différents aller-et-retour des ondes, comme une seule onde progressive qui
retrouve périodiquement le même paysage physique, chaque fois que l'onde a
parcouru un trajet égal à la longueur du cristal. Ces conditions de périodicité cyclique ont été introduites par Born et von Karman et conduisent à
uq(x + Lx,y,z) = uq(x,y,z),etc.
(l)
et par conséquent à
(2)
où les nombres nx, ny, nz sont des entiers positifs ou négatifs. Les vecteurs d'ondes
sont quantifiés par le fait que le cristal possède des dimensions finies et conduisent dans l'espace réciproque à une densité d'état égale à
V
nq =--3
8.1l'
(3)
Toute excitation ne peut provoquer que l'échange (disparition ou création) de l'un
de ces états vibratoires. Puisque le vecteur q est quantifié, il en est de même pour
les fréquences angulaires w = sq. L'énergie associée à chacune des fréquences
permises est donnée par la relation
(4)
et correspond à l'énergie d'une «pseudo-particule» que l'on nomme« phonon ».
L'énergie stockée dans le champ de vibration est donc la somme de l'énergie associée à tous les phonons, pseudo-particules qui ne vérifient aucun principe
d'exclusion et, de ce fait, respectent la statistique de Bose-Einstein.
La première zone de Brillouin contient un nombre d'états q égal au nombre de
maille. Chaque branche d'énergie peut donc contenir un nombre d'états de vibration égal au nombre de mailles N. Ainsi, si le cristal ne contient qu'un atome par
maille, les 3 branches acoustiques décrivent les seuls états permis pour les vibrations du réseau.
7.4. Interprétation microscopique de la capacité calorifique des solides
La théorie cinétique du gaz parfait donne une interprétation immédiate de la température absolue. Considérons un gaz parfait monoatomique. Dans un tel gaz, chaque particule possède une énergie cinétique propre qui se distribue statistiquement, de façon équiprobable sur les trois degrés de liberté de translation possibles.
On peut décrire ce même gaz en attribuant à chacun de ses atomes une énergie
cinétique moyenne. Dans un tel cas, l'énergie interne du gaz (qui ne comprend
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se propager dans un tel espace sont donc celles qui offrent des nœuds d'élongation
aux parois des solides, sinon elles communiqueraient leur énergie à l'extérieur. En
pratique, elles correspondent aux ondes «stationnaires» dont la demi-longueur
d'onde est comprise un nombre entier de fois dans la longueur du cristal. Mathématiquement, ces ondes stationnaires ne sont pas très commodes pour le calcul
des propriétés qu'elles impliquent dans le cristal. Comme nous l'avons vu dans le
cas de l'étude des états d'énergie électroniques, il est plus avantageux de considérer les différents aller-et-retour des ondes, comme une seule onde progressive qui
retrouve périodiquement le même paysage physique, chaque fois que l'onde a
parcouru un trajet égal à la longueur du cristal. Ces conditions de périodicité cyclique ont été introduites par Born et von Karman et conduisent à
uq(x + Lx,y,z) = uq(x,y,z),etc.
(l)
et par conséquent à
(2)
où les nombres nx, ny, nz sont des entiers positifs ou négatifs. Les vecteurs d'ondes
sont quantifiés par le fait que le cristal possède des dimensions finies et conduisent dans l'espace réciproque à une densité d'état égale à
V
nq =--3
8.1l'
(3)
Toute excitation ne peut provoquer que l'échange (disparition ou création) de l'un
de ces états vibratoires. Puisque le vecteur q est quantifié, il en est de même pour
les fréquences angulaires w = sq. L'énergie associée à chacune des fréquences
permises est donnée par la relation
(4)
et correspond à l'énergie d'une «pseudo-particule» que l'on nomme« phonon ».
L'énergie stockée dans le champ de vibration est donc la somme de l'énergie associée à tous les phonons, pseudo-particules qui ne vérifient aucun principe
d'exclusion et, de ce fait, respectent la statistique de Bose-Einstein.
La première zone de Brillouin contient un nombre d'états q égal au nombre de
maille. Chaque branche d'énergie peut donc contenir un nombre d'états de vibration égal au nombre de mailles N. Ainsi, si le cristal ne contient qu'un atome par
maille, les 3 branches acoustiques décrivent les seuls états permis pour les vibrations du réseau.
7.4. Interprétation microscopique de la capacité calorifique des solides
La théorie cinétique du gaz parfait donne une interprétation immédiate de la température absolue. Considérons un gaz parfait monoatomique. Dans un tel gaz, chaque particule possède une énergie cinétique propre qui se distribue statistiquement, de façon équiprobable sur les trois degrés de liberté de translation possibles.
On peut décrire ce même gaz en attribuant à chacun de ses atomes une énergie
cinétique moyenne. Dans un tel cas, l'énergie interne du gaz (qui ne comprend