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Physique des systèmes complexes
E = _!_ _L "°' "°' Q Q ,ei(q+q')na ( eiqa -1)( eiq'a -1)
P 2 NmL,, L,, q q
n q,q'
=Lr L QqQ-q4sin 2 (qa/2)
2m q
En posant Qq (t) i::: exp(iQqt) , les équations de Lagrange
conduisent à
n~ = 4 r sin 2 (qa/2)
m
(5)
(6)
Cette dernière relation représente l'équation de dispersion des fréquences en fonction du vecteur d'onde et est illustrée par la figure 12.
-nia
nia
vecteur d'onde
Figure 12. Relation de dispersion il(q) pour un cristal unidimensionnel
contenant 1 atome par maille.
Lorsque q tend vers zéro, les fréquences deviennent proportionnelles au vecteur
d'onde Q = sq où s s'identifie à la vitesse de propagation des ondes sonores. Pour
cette raison, cette branche est nommée branche acoustique. Remarquons que,
compte tenu de la périodicité du réseau réciproque, il n'est pas nécessaire de calculer les courbes il(q) au delà de la première zone de Brillouin. Cette propriété que
nous découvrons dans le cas d'un cristal unidimensionnel reste bien évidemment
valable dans le cas réaliste des matériaux 3D où il existe alors trois branches de
vibrations possibles correspondant à deux modes de vibrations transversales et un
mode de vibrations longitudinales.
7.3. Les phonons
A l'équilibre thermique, le solide n'échange globalement aucune énergie calorifique avec l'extérieur. Le solide dans lequel se propagent les ondes de vibration est
nécessairement limité par un volume V= LxL;Lz. Les seules ondes stables pouvant