Il. La physique statistique
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Pour des températures non nulles, le calcul de l'intégrale n'est pas analytique. On
peut cependant utiliser le développement suivant
dG(e)
î ~KT de=G(µ)-G(O)+ fc2n(KT)2n[d2n~~e)J
0 1 + e
n=I
de
&=µ
où les premiers coefficients du développement sont donnés par
2
C2 =tr 16
4
C4 = 7tr /360 ...
Comparant (9) et (10), il vient dG/ de= e 112 donc G = 'l:..e 312 . Ainsi
3
= N = _1_(2mJ
112 312[ 1 tr 2 (KT)2 _3_J
n
2 2
µ
+
2 + ...
V 3tr n
6
4µ
soit
(10)
(11)
(12)
(13)
Cette expression montre que le niveau de Fermi d'un gaz d'électrons libres décroît
avec la température. En pratique, cette dépendance est très faible et on admet généralement que le niveau de Fermi reste constant en fonction de la température.
6.4. Capacité calorifique d'un gaz d'électrons libres
L'énergie électronique d'un gaz d'électrons libres est donnée par
OC>
(
J3/20C>
3/2
V
2m
e
de
E101(T)=2f n(e)f(e)cde=-2 2
f
( - )!KT
0
2tr
n
0 1 + e & µ
(1)
En utilisant l'expression §6.3-(10), on obtient immédiatement
E (T) = ~(2mJ3/2['!:._ 5/2 + (trKT)2 112J
tot
2
2
5 µ
4
µ
2tr
n
(2)
En remplaçant l'énergie de Fermi par l'expression approchée §6.3-(13) et en limitant le résultat aux puissances les plus significatives de KT, on obtient
E (T)=_!_(2m)3!2[3_ s12+(7d\.T)2 112)
toi
2tr2 n2
5 µo
6 µo
(3)
La capacité calorifique électronique Ce par unité de volume du gaz d'électrons est
donc donnée par