68
Physique des systèmes complexes
l OO
k2
n=-f
dk
7! 2 O l + e(n 2 k 2 /2m-µ)I KT
Il n'existe pas de solution analytique pour exprimer l'intégrale précédente. Cependant, on peut en déduire le module du vecteur d'onde k1 séparant les états
pleins des états vides, à température nulle. En effet, dans ce cas, la fonction de
Fermi vaut l pour toute énergie inférieure à µ0 et zéro au delà. Ceci conduit à
kJ
n =-l- f k2dk = _l_k3
1!2 '
37!2 f
a
(5)
où
(6)
Le dernier niveau d'énergie occupé µ0 = µ(T=O) est appelé« niveau de Fermi». Il
est souvent noté Ep.
Au lieu d'utiliser la densité d'états k qui nous a permis de transformer la somme
en intégrale, nous aurions pu, tout aussi bien, utiliser la notion de densité d'états
en énergie définie par
Avec
Il vient
n(c)dc = dk ff n(k)dSk
S(s)=Cte
n(c) = ff ~dSk = V3 ff _!!k
S(s)=Cte lgrad k (c)I 87! S(s)=Cte lgrad k (c)I
(7)
Pour le gaz d'électrons libres, les surfaces d'énergie constante sont des sphères.
De ce fait
n(c) = _!_!!!_k = _!_(2mJ3/2 cl/2
27!2 h2
47!2 h2
(8)
Ainsi, la densité électronique est-elle également donnée par
00
V (2mJ 31200 c 112 dc
N=2f n(c)f(c)dc=- 2 2
f (_)/KT
o
27! h
0 1 + e 8 µ
(9)