II. La physique statistique
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doivent pouvoir changer d'état d'énergie dans le solide et doivent donc être situés
à proximité d'états électroniques proches et vides. Ceci se produit dans le cas des
bandes partiellement remplies mais est beaucoup plus difficile, voire impossible,
si les premiers états vides sont séparés par des gaps importants (cas des dernières
bandes complètement pleines). Aussi de manière générale
- les conducteurs (les « métaux ») correspondent aux matériaux dont la dernière
bande contenant des électrons est partiellement pleine,
- les isolants correspondent aux matériaux dont la dernière bande occupée est totalement remplie
- les métaux alcalins ne possèdent qu'un seul électron de valence et leur maille ne
contient qu'un seul atome. Aussi, seule la première bande représentée sur la figure
8 est à moitié remplie, d'où le caractère métallique de ces matériaux. De plus, la
forme de la première bande ne s'écarte de la parabole des électrons libres que
lorsque l'on se rapproche des limites de zone (voir la courbe en trait plein de la
figure 8). Aussi, pour ces matériaux, qu'il y ait des gaps ou non séparant les bandes permises, tout se passe comme si les électrons étaient situées sur des états
paraboliques. Ceci explique pourquoi le modèle gaz d'électrons libres permet de
retrouver en grande partie les propriétés des métaux alcalins.
6.3. Position du niveau de Fermi d'un gaz d'électrons libres
Le potentiel chimique intervenant dans la fonction de distribution de Fermi Dirac
est déterminé par le nombre N de particules constituant le système de fermions.
Celui-ci est bien évidemment imposé par le matériau que l'on considère et constitue un paramètre du problème. A une température donnée T, les N particules se
distribuent sur les différents états d'énergie du système. Ainsi
N = 2L f(E(k'))
(1)
k'
où l'on a introduit un facteur 2 pour tenir compte de la dégénérescence de spin et
où f(E(k')) est le taux d'occupation de Fermi-Dirac d'un état d'énergie E(k')
donné par §5.1-(2). On peut transformer la somme en intégrale à l'aide de la fonction de distribution de Dirac
N=2fff L ô(k-k')f(E(k)d 3 k
k'
La quantité
-
~
- -
V
n(k) = L.J ô(k-k') =- 3
k'
8.1l"
correspond à la densité d'états introduite au paragraphe 6.1. Ainsi
N = 2fff n(k)f(E(k))d 3 k = ~ fff f(E(k))d 3 k
41l"
(2)
(3)
(4)
Il est utile d'introduire la densité électronique n = N/V. Puisque l'énergie ne dépend que du module de k, on peut utiliser les coordonnées sphériques, si bien que
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doivent pouvoir changer d'état d'énergie dans le solide et doivent donc être situés
à proximité d'états électroniques proches et vides. Ceci se produit dans le cas des
bandes partiellement remplies mais est beaucoup plus difficile, voire impossible,
si les premiers états vides sont séparés par des gaps importants (cas des dernières
bandes complètement pleines). Aussi de manière générale
- les conducteurs (les « métaux ») correspondent aux matériaux dont la dernière
bande contenant des électrons est partiellement pleine,
- les isolants correspondent aux matériaux dont la dernière bande occupée est totalement remplie
- les métaux alcalins ne possèdent qu'un seul électron de valence et leur maille ne
contient qu'un seul atome. Aussi, seule la première bande représentée sur la figure
8 est à moitié remplie, d'où le caractère métallique de ces matériaux. De plus, la
forme de la première bande ne s'écarte de la parabole des électrons libres que
lorsque l'on se rapproche des limites de zone (voir la courbe en trait plein de la
figure 8). Aussi, pour ces matériaux, qu'il y ait des gaps ou non séparant les bandes permises, tout se passe comme si les électrons étaient situées sur des états
paraboliques. Ceci explique pourquoi le modèle gaz d'électrons libres permet de
retrouver en grande partie les propriétés des métaux alcalins.
6.3. Position du niveau de Fermi d'un gaz d'électrons libres
Le potentiel chimique intervenant dans la fonction de distribution de Fermi Dirac
est déterminé par le nombre N de particules constituant le système de fermions.
Celui-ci est bien évidemment imposé par le matériau que l'on considère et constitue un paramètre du problème. A une température donnée T, les N particules se
distribuent sur les différents états d'énergie du système. Ainsi
N = 2L f(E(k'))
(1)
k'
où l'on a introduit un facteur 2 pour tenir compte de la dégénérescence de spin et
où f(E(k')) est le taux d'occupation de Fermi-Dirac d'un état d'énergie E(k')
donné par §5.1-(2). On peut transformer la somme en intégrale à l'aide de la fonction de distribution de Dirac
N=2fff L ô(k-k')f(E(k)d 3 k
k'
La quantité
-
~
- -
V
n(k) = L.J ô(k-k') =- 3
k'
8.1l"
correspond à la densité d'états introduite au paragraphe 6.1. Ainsi
N = 2fff n(k)f(E(k))d 3 k = ~ fff f(E(k))d 3 k
41l"
(2)
(3)
(4)
Il est utile d'introduire la densité électronique n = N/V. Puisque l'énergie ne dépend que du module de k, on peut utiliser les coordonnées sphériques, si bien que