66
Physique des systèmes complexes
k
-nia
nia
Figure 8. Solutions numériques de l'équation du 3• degré (22) obtenue avec les valeurs arbitraires
v(21l' /a)= O.SeV; v( 4JT /a)= 0.2eV. En trait plein la parabole des électrons libres.
Puisque, dans le cas d'un cristal unidimensionnel, les seuls vecteurs k permis par
les conditions cycliques sont séparés de distances 2 ml où L est la longueur du
cristal ID, chaque bande de largeur 2ma (située entre -ma et ma) contient un
nombre d'états k permis qui vaut
N = 2JT! a= L
2JT / L a
(23)
soit encore un nombre égal à celui du nombre de mailles du cristal.
Ces résultats se généralisent bien entendu au cas des matériaux réels :
- Chaque zone de Brillouin contient un nombre d'états k permis égal au nombre de
mailles du cristal,
- Les états d'énergie possibles se regroupent en bandes séparées par des zones
d'énergie interdites (les «gaps»). Puisqu'il est possible de placer deux électrons
de spins opposés par états d'énergie (donc par état k), chaque bande peut accommoder 2N électrons,
- Si le contenu atomique de chaque motif définissant une maille apporte un nombre pair d'électrons de valence, alors, à température nulle, la dernière bande occupée sera complètement pleine. Si le nombre d'électrons par maille est impair,
alors la dernière bande occupée sera à moitié remplie.
6.2. Métaux-isolants?
Les résultats précédents permettent de comprendre la distinction entre les matériaux conducteurs et les isolants. En effet, lorsque l'on réalise une expérience de
conductivité, on applique une tension aux bornes du matériau dans le but de mettre en mouvement les électrons du système, donc de leur communiquer un apport
d'énergie (cinétique). Pour que les électrons acceptent ce surplus d'énergie, ils
Physique des systèmes complexes
k
-nia
nia
Figure 8. Solutions numériques de l'équation du 3• degré (22) obtenue avec les valeurs arbitraires
v(21l' /a)= O.SeV; v( 4JT /a)= 0.2eV. En trait plein la parabole des électrons libres.
Puisque, dans le cas d'un cristal unidimensionnel, les seuls vecteurs k permis par
les conditions cycliques sont séparés de distances 2 ml où L est la longueur du
cristal ID, chaque bande de largeur 2ma (située entre -ma et ma) contient un
nombre d'états k permis qui vaut
N = 2JT! a= L
2JT / L a
(23)
soit encore un nombre égal à celui du nombre de mailles du cristal.
Ces résultats se généralisent bien entendu au cas des matériaux réels :
- Chaque zone de Brillouin contient un nombre d'états k permis égal au nombre de
mailles du cristal,
- Les états d'énergie possibles se regroupent en bandes séparées par des zones
d'énergie interdites (les «gaps»). Puisqu'il est possible de placer deux électrons
de spins opposés par états d'énergie (donc par état k), chaque bande peut accommoder 2N électrons,
- Si le contenu atomique de chaque motif définissant une maille apporte un nombre pair d'électrons de valence, alors, à température nulle, la dernière bande occupée sera complètement pleine. Si le nombre d'électrons par maille est impair,
alors la dernière bande occupée sera à moitié remplie.
6.2. Métaux-isolants?
Les résultats précédents permettent de comprendre la distinction entre les matériaux conducteurs et les isolants. En effet, lorsque l'on réalise une expérience de
conductivité, on applique une tension aux bornes du matériau dans le but de mettre en mouvement les électrons du système, donc de leur communiquer un apport
d'énergie (cinétique). Pour que les électrons acceptent ce surplus d'énergie, ils