Il. La physique statistique
65
Pour montrer l'existence des bandes d'énergie, la plus simple des approximations
consiste
- à se placer dans un système unidimensionnel où les vecteurs du réseau réciproque sont de la forme
G. = 2tr j
J
a
- et à ne tenir compte que des vecteurs d'onde les plus courts, tout en respectant la
symétrie d'inversion, soit encore
Go =0
Dans ces conditions, en posant
G
2tr
1 = -
a
-
-* -* -
-( / )
VQJ = VJO = vo2 = V30 =V 2tr a
l'hamiltonien devient
2m
v(2tr /a)
v(2trla)
v(2tr /a)
li2(k+G1)2
2m
v(4tr /a)
v(2tr /a)
v(4tr /a)
li2 (k + G2)2
2m
Un tel hamiltonien ne possède des états propres que si les valeurs propres E(k)
recherchées sont telles que le déterminant associé soit nul, soit encore
2 2
~-E(k)
v(2tr /a)
v(2tr /a)
2m
v(2tr /a)
li2(k+G1)2
E(k)
v(4trla)
=Ü
(22)
2m
v(2tr /a)
v(4trla)
li2(k + G2)2
-E(k)
2m
Il s'agit d'une équation du troisième degré, conduisant pour chaque valeur du vecteur k à trois solutions En(k) c'est-à-dire à trois bandes d'énergie que l'on peut
calculer numériquement, comme l'illustre la figure 8.
L'équation (18) montre qu'il n'est pas nécessaire de calculer les états d'énergie
pour toutes les valeurs de k de l'espace réciproque, mais celles qui sont situées
dans le volume élémentaire (un polyèdre) limité par les plans bissecteurs des vecteurs du réseau réciproque les plus courts, puisque ces solutions se reproduisent
périodiquement pour toute translation d'un vecteur quelconque du réseau réciproque. Ce volume est appelé zone de Brillouin. Dans le cas d'un système fictif unidimensionnel, ce volume se réduit au segment limité par les valeurs -tria et tria.
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Pour montrer l'existence des bandes d'énergie, la plus simple des approximations
consiste
- à se placer dans un système unidimensionnel où les vecteurs du réseau réciproque sont de la forme
G. = 2tr j
J
a
- et à ne tenir compte que des vecteurs d'onde les plus courts, tout en respectant la
symétrie d'inversion, soit encore
Go =0
Dans ces conditions, en posant
G
2tr
1 = -
a
-
-* -* -
-( / )
VQJ = VJO = vo2 = V30 =V 2tr a
l'hamiltonien devient
2m
v(2tr /a)
v(2trla)
v(2tr /a)
li2(k+G1)2
2m
v(4tr /a)
v(2tr /a)
v(4tr /a)
li2 (k + G2)2
2m
Un tel hamiltonien ne possède des états propres que si les valeurs propres E(k)
recherchées sont telles que le déterminant associé soit nul, soit encore
2 2
~-E(k)
v(2tr /a)
v(2tr /a)
2m
v(2tr /a)
li2(k+G1)2
E(k)
v(4trla)
=Ü
(22)
2m
v(2tr /a)
v(4trla)
li2(k + G2)2
-E(k)
2m
Il s'agit d'une équation du troisième degré, conduisant pour chaque valeur du vecteur k à trois solutions En(k) c'est-à-dire à trois bandes d'énergie que l'on peut
calculer numériquement, comme l'illustre la figure 8.
L'équation (18) montre qu'il n'est pas nécessaire de calculer les états d'énergie
pour toutes les valeurs de k de l'espace réciproque, mais celles qui sont situées
dans le volume élémentaire (un polyèdre) limité par les plans bissecteurs des vecteurs du réseau réciproque les plus courts, puisque ces solutions se reproduisent
périodiquement pour toute translation d'un vecteur quelconque du réseau réciproque. Ce volume est appelé zone de Brillouin. Dans le cas d'un système fictif unidimensionnel, ce volume se réduit au segment limité par les valeurs -tria et tria.