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Physique des systèmes complexes
En multipliant à gauche par e -i(k +G')ï', puis en intégrant sur tout l'espace cristallin et en tenant compte de l'orthogonalité des ondes planes
f ei(G-G')r d3r = Vc5G,G'
V
il vient
(20)
où l'on a posé
Les états d'énergie recherchés sont donc les valeurs propres de la matrice représentative de l'hamiltonien dans la base des ondes planes associées au réseau réciproque
(21)
On peut ranger les vecteurs du réseau réciproque par ordre de module croissant
(Go = 0, G 1 ;G2 , ... ) de sorte que la matrice (21) s'écrive (en poant n = m = 1)
k 2 12
vo1
vo2
V03
etc etc
v10 (k+G1) 2 12
VJ2
VJ3
etc etc
H=
v20
v21
(k+G 2 ) 2 12
v23
etc etc
v30
V3J
v32
(k+Gj) 2 12 etc etc
etc
etc
etc
etc
etc etc
etc
etc
etc
etc
etc etc
Bien entendu, il s'agit d'une matrice infinie pour laquelle, il n'existe aucune technique analytique ni même numérique possible de recherche des éléments propres.
Cependant, les termes de la diagonale ne font que croître, alors que la transformée
de Fourier du potentiel cristallin ne peut être qu'une fonction décroissante du module des vecteurs Gi - G J. Si, au delà d'une certaine valeur, on approxime à zéro
les éléments de matrice du potentiel, alors la recherche des états propres revient à
la détermination des éléments propres d'une matrice de taille finie, ce qui est réalisable numériquement. Pour obtenir des résultats numériques réalistes il faut
bien entendu, non seulement connaître exactement le potentiel d'interaction, mais
aussi tenir compte du plus grand nombre possible d'éléments dans la matrice.