II. La physique statistique
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Les vecteurs (a:, a;, a;) qui définissent le « réseau réciproque » structurent périodiquement toute fonction qui exprime une propriété du cristal dans le réseau
réciproque. C'est tout particulièrement le cas des états d'énergie électronique qui
sont tels que
E(k) = E(k + G)
(16)
Nous profitons maintenant de ces résultats pour déterminer les états d'énergie
accessibles aux électrons lorsque l'on tient compte cette fois du potentiel périodique v(r) que nous avions négligé dans le modèle des électrons libres. En toute
rigueur, le problème est excessivement complexe et les lecteurs intéressés pourront se référer aux méthodes de résolutions exposées dans la référence 1 • Nous
abordons ce problème en supposant que le potentiel v(r) est suffisamment faible
devant l'énergie cinétique de l'électron pour pouvoir être considéré comme une
perturbation dans l'équation (3). Ainsi, à l'ordre zéro, lorsque l'on néglige
l'amplitude du potentiel v(r), mais tout en retenant son caractère périodique, les
fonctions d'onde et les états propres du problème non perturbé sont ceux du gaz
d'électrons libres, ce qui implique que, quel que soit le vecteur G, les fonctions
1
-
l
- -
lf'2(r)= JVeik.r et lf'2+G(r)= JVei(k+G).r
(17)
possèdent la même énergie
E(k) = E(k + G)
(18)
et forment ainsi, un système dégénéré (c'est-à-dire un système où le même état
d'énergie correspond à plusieurs fonctions d'onde). Aussi, lorsqu'un électron se
trouve dans un tel état d'énergie, il ne peut savoir dans quelle fonction d'onde il se
trouve, ce qui signifie en clair qu'il se trouve dans une combinaison linéaire de
toutes les fonctions d'onde planes différant d'une translation entière du réseau
réciproque, soit encore
V' k (i') = ~ ak ( G)e;( G+k l' = [ ~ a k ( G)e;G; };fr = u k (i')e;fr ( 19)
De toute évidence la fonction u k (r) possède la périodicité du réseau direct, Une
telle fonction (19) est appelée onde de Bloch.
En introduisant cette fonction dans l'équation de Schrôdinger, il vient alors
I ak(G)[-!!!_11+v(r)-E)ei(k+G)r =0
k
2m
soit également
1 Voir le livre Initiation à la théorie quantique des solides Jean-Louis Farvacque,
éditions Ellipses, 2009).
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Les vecteurs (a:, a;, a;) qui définissent le « réseau réciproque » structurent périodiquement toute fonction qui exprime une propriété du cristal dans le réseau
réciproque. C'est tout particulièrement le cas des états d'énergie électronique qui
sont tels que
E(k) = E(k + G)
(16)
Nous profitons maintenant de ces résultats pour déterminer les états d'énergie
accessibles aux électrons lorsque l'on tient compte cette fois du potentiel périodique v(r) que nous avions négligé dans le modèle des électrons libres. En toute
rigueur, le problème est excessivement complexe et les lecteurs intéressés pourront se référer aux méthodes de résolutions exposées dans la référence 1 • Nous
abordons ce problème en supposant que le potentiel v(r) est suffisamment faible
devant l'énergie cinétique de l'électron pour pouvoir être considéré comme une
perturbation dans l'équation (3). Ainsi, à l'ordre zéro, lorsque l'on néglige
l'amplitude du potentiel v(r), mais tout en retenant son caractère périodique, les
fonctions d'onde et les états propres du problème non perturbé sont ceux du gaz
d'électrons libres, ce qui implique que, quel que soit le vecteur G, les fonctions
1
-
l
- -
lf'2(r)= JVeik.r et lf'2+G(r)= JVei(k+G).r
(17)
possèdent la même énergie
E(k) = E(k + G)
(18)
et forment ainsi, un système dégénéré (c'est-à-dire un système où le même état
d'énergie correspond à plusieurs fonctions d'onde). Aussi, lorsqu'un électron se
trouve dans un tel état d'énergie, il ne peut savoir dans quelle fonction d'onde il se
trouve, ce qui signifie en clair qu'il se trouve dans une combinaison linéaire de
toutes les fonctions d'onde planes différant d'une translation entière du réseau
réciproque, soit encore
V' k (i') = ~ ak ( G)e;( G+k l' = [ ~ a k ( G)e;G; };fr = u k (i')e;fr ( 19)
De toute évidence la fonction u k (r) possède la périodicité du réseau direct, Une
telle fonction (19) est appelée onde de Bloch.
En introduisant cette fonction dans l'équation de Schrôdinger, il vient alors
I ak(G)[-!!!_11+v(r)-E)ei(k+G)r =0
k
2m
soit également
1 Voir le livre Initiation à la théorie quantique des solides Jean-Louis Farvacque,
éditions Ellipses, 2009).