62
Physique des systèmes complexes
est une translation quelconque du réseau cristallin défini par les vecteurs de base
( a 1 , ëi3, ëi3) . La périodicité du réseau cristallin entraîne la périodicité de toutes les
propriétés des solides dans l'espace réel, et donc également dans l'espace réciproque des vecteurs d'onde k. Pour le montrer, considérons une propriété quelconque
caractérisant le solide dans l'espace réel et définie par une fonction f(r). Puisque
cette fonction est périodique dans l'espace direct, elle peut s'exprimer sous la
forme d'une série de Fourier, soit encore
f(r) = L f(G)eiG.r
{;
(11)
Mais puisque f (r) = f(r + R 1 ) où R 1 est une translation quelconque du réseau
cristallin, il faut nécessairement, pour respecter 1' expression ( 11) que
ë.R. 1 =2mz
(12)
Ainsi, les vecteurs G de 1' espace réciproque nécessaires pour exprimer une fonction périodique de l'espace réel ne sont pas quelconques. Pour les déterminer,
nous imaginons qu'il existe dans l'espace réciproque un réseau réciproque défini
par les vecteurs de base c a~, a;, a;) tels que tout vecteur ë soit de la forme
et nous choisissons successivement les vecteurs de base (al> a 3 , a 3 ) pour évaluer
(12). II vient alors
Pour définir totalement, les vecteurs de base du réseau réciproque, nous pouvons
imposer la condition
(13)
Ce choix ne restreint pas la généralité du problème mais implique immédiatement
i) que les vecteurs G intervenant dans l'expression (11) sont de la forme
ii) et que
-* 2
ëi2 xëi3
a1 = 7r
a,.(a2 xëi3)
G - h-* I.::* 1-*
= a1 + /l.U2 + a3
(14)
(15)