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Physique des systèmes complexes
n2
--111/f = El/f
2m
(4)
La solution la plus générale de cette équation s'exprime sous la forme de deux
ondes planes progressive et régressive
2 2
E(k) = !!__!:__
2m
(5)
Pour déterminer simplement les coefficients A et B de la solution générale, on
peut supposer que ce puits de potentiel soit suffisamment profond pour qu'on
puisse appliquer les conditions d'annulation de la fonction d'onde aux limites du
solide. On se retrouverait alors dans le cadre du problème évoqué au paragraphe
4.2. où nous avions finalement exprimé les fonctions d'onde sous forme d'ondes
stationnaires. Mais, on peut faire beaucoup mieux !
Au lieu d'invoquer l'annulation des fonctions d'onde aux limites du volume V, on
peut, par la pensée, répliquer périodiquement le volume V dans les trois dimensions de l'espace, si bien que le solide limité par le volume V devient en quelque
sorte le motif d'un système périodique tridimensionnel où les conditions limites
imposées à la fonction d'onde sont maintenant remplacées par des conditions cycliques à savoir
(6)
Ces conditions, parfaitement équivalentes aux conditions d'annulation de la fonction d'onde aux limites de V sont appelées conditions cycliques de Born-vonKarman. Elles permettent de considérer que les fonctions d'onde sont des ondes
progressives de la forme
If/ (r) = _1_ eik.r
k
.JV
(7)
qui reprennent périodiquement les mêmes valeurs de sorte que
eikxx =eikx(x+Lx) eikyY =eiky(y+Ly}
eikzz =eikz(z+Lz}
Pour qu'il en soit ainsi, il faut que les vecteurs d'onde k soient de la forme
k = 2tr[!2__ '!!_!_ ' !2)
Lx Ly Lz
(8)
où nx, ny et nz sont des nombres entiers positifs ou négatifs. Ceci montre que les
états d'énergie accessibles aux électrons contraints à être localisés dans un volume
V fini de l'espace sont discrets et que les vecteurs d'onde forment dans l'espace
réciproque (l'espace de Fourier) un réseau de points. Il est bien évidemment possible de définir la densité d'états k permis dans l'espace réciproque. Puisque les
vecteurs k permis sont, dans chacune des dimensions distants de quantités
2tr /Lx, 2tr / Ly et2tr / Lz, il n'existe donc qu'un seul état k par volume
Vk = (2tr) 3 IV de l'espace de Fourier, soit encore une« densité d'états» moyenne
Physique des systèmes complexes
n2
--111/f = El/f
2m
(4)
La solution la plus générale de cette équation s'exprime sous la forme de deux
ondes planes progressive et régressive
2 2
E(k) = !!__!:__
2m
(5)
Pour déterminer simplement les coefficients A et B de la solution générale, on
peut supposer que ce puits de potentiel soit suffisamment profond pour qu'on
puisse appliquer les conditions d'annulation de la fonction d'onde aux limites du
solide. On se retrouverait alors dans le cadre du problème évoqué au paragraphe
4.2. où nous avions finalement exprimé les fonctions d'onde sous forme d'ondes
stationnaires. Mais, on peut faire beaucoup mieux !
Au lieu d'invoquer l'annulation des fonctions d'onde aux limites du volume V, on
peut, par la pensée, répliquer périodiquement le volume V dans les trois dimensions de l'espace, si bien que le solide limité par le volume V devient en quelque
sorte le motif d'un système périodique tridimensionnel où les conditions limites
imposées à la fonction d'onde sont maintenant remplacées par des conditions cycliques à savoir
(6)
Ces conditions, parfaitement équivalentes aux conditions d'annulation de la fonction d'onde aux limites de V sont appelées conditions cycliques de Born-vonKarman. Elles permettent de considérer que les fonctions d'onde sont des ondes
progressives de la forme
If/ (r) = _1_ eik.r
k
.JV
(7)
qui reprennent périodiquement les mêmes valeurs de sorte que
eikxx =eikx(x+Lx) eikyY =eiky(y+Ly}
eikzz =eikz(z+Lz}
Pour qu'il en soit ainsi, il faut que les vecteurs d'onde k soient de la forme
k = 2tr[!2__ '!!_!_ ' !2)
Lx Ly Lz
(8)
où nx, ny et nz sont des nombres entiers positifs ou négatifs. Ceci montre que les
états d'énergie accessibles aux électrons contraints à être localisés dans un volume
V fini de l'espace sont discrets et que les vecteurs d'onde forment dans l'espace
réciproque (l'espace de Fourier) un réseau de points. Il est bien évidemment possible de définir la densité d'états k permis dans l'espace réciproque. Puisque les
vecteurs k permis sont, dans chacune des dimensions distants de quantités
2tr /Lx, 2tr / Ly et2tr / Lz, il n'existe donc qu'un seul état k par volume
Vk = (2tr) 3 IV de l'espace de Fourier, soit encore une« densité d'états» moyenne