Il. La physique statistique
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valeur moyenne (veff), si bien que l'hamiltonien de tout électron vérifie
l'équation de Schrôdinger
n2
- 2m A l/f + Ve.ff ( r)l/f = E 1/1
(l)
Cette équation peut également s'écrire sous la forme
- ~: Al/f + [~eff (r)-(Veff ))+ (veff )~ = El/f
(2)
En effectuant un changement du choix de l'origine de l'énergie telle que
(veff) = 0 et en posant
L'équation (2) devient
v(r) = Veff (r) -(veff)
n2
- - A l/f + v(r)l/f = E l/f
2m
--'!""""-E=O
- _____ y_ (veff)
Figure 6. Représentation schématique du potentiel attractif d'un solide.
(3)
La structure du potentiel v(r) dépend bien évidemment de la distribution spatiale
des ions dans le solide. La résolution rigoureuse de l'équation de Schrôdinger
d'un électron dans un solide réel est excessivement difficile car chaque électron
dépend de la position des autres qui dépend elle-même de la position de l'électron
considéré. Il s'agit donc en réalité d'un ensemble d'équations de Schrôdinger
couplées qui ne peuvent être résolues numériquement que par des procédés itératifs. Cependant, il est possible de découvrir des propriétés générales au moyen
d'approximations raisonnables.
- Le modèle des « électrons libres »
Une première approximation consiste à négliger totalement le potentiel v(r) .
Dans un tel cas, l'hamiltonien d'un électron lié à un solide s'identifie à celui d'un
puits de potentiel tridimensionnel, soit encore