58
Physique des systèmes complexes
Dans cet arrangement particulier, le nombre de croix est égal à n j, le nombre de
traits égal à D. Tout autre arrangement peut être obtenu en permutant les croix et
les traits. Il y a donc en tout (D + n j )! arrangements possibles. Cependant, on a
compté en trop toutes les permutations que l'on peut faire sur l'ordre d'arrivée des
particules dans les boîtes soit ni et toutes les permutations que l'on peut faire sur
l'ordre d'arrivée du choix des boîtes, soit Dl. Aussi, le vrai nombre de configurations est-il donné par
(D+nj)!
Q( n j) = ------'-D! ni
(3)
En utilisant l'expression statistique de l'entropie, on obtient alors l'expression de
l'énergie libre du système, dans laquelle, on a annulé le terme de potentiel chimique puisque les particules sont sans interaction
[
(D+nj)!J
F = "f,njEj-KTlog - - -
j
D!ni
(4)
Le minimum absolu de cette fonction par rapport aux variables n j conduit alors à
l'expression du taux d'occupation f(E) = N(E)/ D donné par
1
f(E) = El KT
e
-1
(5)
C'est la formule de Bose-Einstein régissant la statistique d'occupation des « bosons».
6. Quelques propriétés électroniques des solides
6.1. Niveaux électroniques dans les solides
Un solide est un ensemble d'atomes rigidement liées les uns aux autres et occupant de ce fait un volume V de l'espace. Il contient donc un nombre d'ions occupant, en première approximation, des positions fixes dans l'espace, autour desquels gravitent N électrons de valence. La proximité des différents atomes est telle
que leurs électrons de valence peuvent s'échanger si bien que chacun d'entre eux
possède un hamiltonien constitué de son énergie cinétique et de son énergie
d'interaction électrique avec toutes les particules chargées (ions, autres électrons
de valence) présentes dans le volume V. Notons ici que les électrons des couches
profondes constituent avec leur noyau un ion et restent insensibles au fait que
l'atome soit ou non engagé dans la constitution d'une molécule ou d'un solide.
Aussi, lorsque l'on cherche les états d'énergie des électrons d'un solide, il est entendu qu'il ne s'agit que de ceux qui concernent les électrons de valence et qui
définissent ainsi les propriétés des matériaux.
De toute évidence, chaque électron (de valence) subit un potentiel effectif globalement attractif puisqu'il ne quitte pas spontanément le solide auquel il appartient. Ce potentiel attractif est représenté symboliquement sur la figure 6. En tout
point r appartenant au volume V, le potentiel effectif Veff (r) fluctue autour de sa
Physique des systèmes complexes
Dans cet arrangement particulier, le nombre de croix est égal à n j, le nombre de
traits égal à D. Tout autre arrangement peut être obtenu en permutant les croix et
les traits. Il y a donc en tout (D + n j )! arrangements possibles. Cependant, on a
compté en trop toutes les permutations que l'on peut faire sur l'ordre d'arrivée des
particules dans les boîtes soit ni et toutes les permutations que l'on peut faire sur
l'ordre d'arrivée du choix des boîtes, soit Dl. Aussi, le vrai nombre de configurations est-il donné par
(D+nj)!
Q( n j) = ------'-D! ni
(3)
En utilisant l'expression statistique de l'entropie, on obtient alors l'expression de
l'énergie libre du système, dans laquelle, on a annulé le terme de potentiel chimique puisque les particules sont sans interaction
[
(D+nj)!J
F = "f,njEj-KTlog - - -
j
D!ni
(4)
Le minimum absolu de cette fonction par rapport aux variables n j conduit alors à
l'expression du taux d'occupation f(E) = N(E)/ D donné par
1
f(E) = El KT
e
-1
(5)
C'est la formule de Bose-Einstein régissant la statistique d'occupation des « bosons».
6. Quelques propriétés électroniques des solides
6.1. Niveaux électroniques dans les solides
Un solide est un ensemble d'atomes rigidement liées les uns aux autres et occupant de ce fait un volume V de l'espace. Il contient donc un nombre d'ions occupant, en première approximation, des positions fixes dans l'espace, autour desquels gravitent N électrons de valence. La proximité des différents atomes est telle
que leurs électrons de valence peuvent s'échanger si bien que chacun d'entre eux
possède un hamiltonien constitué de son énergie cinétique et de son énergie
d'interaction électrique avec toutes les particules chargées (ions, autres électrons
de valence) présentes dans le volume V. Notons ici que les électrons des couches
profondes constituent avec leur noyau un ion et restent insensibles au fait que
l'atome soit ou non engagé dans la constitution d'une molécule ou d'un solide.
Aussi, lorsque l'on cherche les états d'énergie des électrons d'un solide, il est entendu qu'il ne s'agit que de ceux qui concernent les électrons de valence et qui
définissent ainsi les propriétés des matériaux.
De toute évidence, chaque électron (de valence) subit un potentiel effectif globalement attractif puisqu'il ne quitte pas spontanément le solide auquel il appartient. Ce potentiel attractif est représenté symboliquement sur la figure 6. En tout
point r appartenant au volume V, le potentiel effectif Veff (r) fluctue autour de sa