II. La physique statistique
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L Ne-fl(U-µN)
< n . >= _N _ _ _ _ _ _
J
L e-fl(U-µN)
0 x e0 + 1 x e -/J(&j-µ)
e0 + e -/J(&j-µ)
1+e/J(e1-µ)
(1)
N
soit en définitive
1
f(e) = 1 + e (2)
f(e) est la fonction de Fermi-Dirac exprimant le taux d'occupation d'un état d'énergie e d'un système de « fermions ».
On peut retrouver cette expression en utilisant l'hypothèse ergodique. Considérons un ensemble de D systèmes identiques contenant chacun des états accessibles
d'énergie (e 1 ,e 2 ... e 1 .. .). Supposons de plus que chaque état d'énergie soitg fois
dégénéré, c'est-à-dire qu'il peut être occupé par g particules. Dans le cas des électrons cette dégénérescence est associée à leur spin qui peut prendre les deux valeurs ±li/2 ce qui implique que chaque état d'énergie peut accommoder 2 électrons de spins opposés. Pour chaque valeur e 1 , il existe donc de fait D' = gD
états d'énergie accessibles. Supposons qu'une configuration soit caractérisée par
un nombre n J de particules sur les différents états e J . Pour réaliser une telle
configuration, il y a D ' façons de choisir le premier état, puis D '-1, puis ...
D'-n J + 1 façons de choisir le dernier état à remplir, soit, au total
D''
D'(D'-l)(D'-2) ..... (D'-n J + 1) =
.
(D'-ni )!
Les particules étant indiscernables, toutes les permutations que l'on peut faire sur
le choix des n J conduisent à des configurations équivalentes et sont donc comptées en trop dans l'expression précédente. Le vrai nombre de configurations est
alors obtenu en divisant l'expression précédente par n J ! , soit
D ,,
Q(n ·) =
.
1
(D'-n J )!n 1'
(3)
et pour l'ensemble des niveaux d'énergie
Q = .Q(n 1 )Q(n 2 ) ....
(4)
Considérons le système de Fermions en équilibre avec une source de chaleur et
une source de particules. Le potentiel thermodynamique caractérisant l'équilibre
du système est donné par
r/J = U -TS-µN = :Ln 1 (e 1 -µ)-KTlog(Q)
j
(5)
L'équilibre du système est enfin caractérisé par le minimum absolu de cette fonction par rapport à chaque variable nh soit