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Physique des systèmes complexes
"°' X e-fl(U-µN)
L.J
N,r
( X) _ ---'N,'---r _ _ _ _
- L e-fl(U-µN)
N,r
En particulier, la valeur moyenne du nombre de particules est donnée par
L Ne-fl(U-µN)
( N)--N_,r _ _ _ _
- L e-fl(U-µN)
N,r
5. Statistiques quantiques
_!_~ L e-fl(U-µN)
f3 ൠN,r
L e-fl(U-µN)
N,r
_!_ 8log(Z)
/3 àµ
(21)
(22)
On peut maintenant se demander s'il est possible de placer plusieurs particules
dans le même état d'énergie ou plus exactement dans le même état quantique! En
fait, la mécanique quantique distingue deux grandes classes de particules selon
que leur spin soit entier, c'est-à-dire égal à un nombre entier de fois 1i, ou demientier c'est à dire égal à un nombre impair de fois 1i / 2 . Le premier type de particules constitue la classe des bosons et n'est soumis à aucun principe d'exclusion,
le second type de particules constitue la classe des fermions et est soumis au principe d'exclusion de Pauli stipulant qu'il ne peut exister plus d'une particule dans
un état quantique (spin compris).
- La classe des fermions est constituée par les particules réelles parmi lesquelles
on trouve bien évidemment les électrons, les protons ainsi que les neutrons qui ne
possèdent que deux valeurs possibles de spin: s = ±n / 2 . Pour de telles particules,
on ne peut placer que deux particules de spins opposés sur un même état
d'énergie.
- Les photons résultant de la quantification du champ électromagnétique ainsi que
les phonons résultant de la quantification des états de vibration des ions d'un matériau font partie de la classe des bosons.
Chacune des classes de particules est caractérisée par un spectre d'états quantiques
accessibles et, lorsqu'un système donné contenant un grand nombre N de particules est en équilibre avec une source de chaleur, chaque état d'énergie accessible
possède une probabilité d'occupation qui obéit à une statistique différente. Pour
établir ces deux grandes classes de statistique, nous partons des expressions §4(20-22) en considérant un ensemble grand canonique constitué de systèmes Ij
possédant chacun un seul état quantique d'énergie q.
5.1. Statistique d'occupation des Fermions
Si l'on tient compte du spin, un état électronique ne peut contenir que zéro ou 1
particule. Si l'on restreint l'expression §4-(22) au système Ij et puisque les différents micro-états ne diffèrent que par le nombre de particules N et que U = N q, il
vient
Physique des systèmes complexes
"°' X e-fl(U-µN)
L.J
N,r
( X) _ ---'N,'---r _ _ _ _
- L e-fl(U-µN)
N,r
En particulier, la valeur moyenne du nombre de particules est donnée par
L Ne-fl(U-µN)
( N)--N_,r _ _ _ _
- L e-fl(U-µN)
N,r
5. Statistiques quantiques
_!_~ L e-fl(U-µN)
f3 ൠN,r
L e-fl(U-µN)
N,r
_!_ 8log(Z)
/3 àµ
(21)
(22)
On peut maintenant se demander s'il est possible de placer plusieurs particules
dans le même état d'énergie ou plus exactement dans le même état quantique! En
fait, la mécanique quantique distingue deux grandes classes de particules selon
que leur spin soit entier, c'est-à-dire égal à un nombre entier de fois 1i, ou demientier c'est à dire égal à un nombre impair de fois 1i / 2 . Le premier type de particules constitue la classe des bosons et n'est soumis à aucun principe d'exclusion,
le second type de particules constitue la classe des fermions et est soumis au principe d'exclusion de Pauli stipulant qu'il ne peut exister plus d'une particule dans
un état quantique (spin compris).
- La classe des fermions est constituée par les particules réelles parmi lesquelles
on trouve bien évidemment les électrons, les protons ainsi que les neutrons qui ne
possèdent que deux valeurs possibles de spin: s = ±n / 2 . Pour de telles particules,
on ne peut placer que deux particules de spins opposés sur un même état
d'énergie.
- Les photons résultant de la quantification du champ électromagnétique ainsi que
les phonons résultant de la quantification des états de vibration des ions d'un matériau font partie de la classe des bosons.
Chacune des classes de particules est caractérisée par un spectre d'états quantiques
accessibles et, lorsqu'un système donné contenant un grand nombre N de particules est en équilibre avec une source de chaleur, chaque état d'énergie accessible
possède une probabilité d'occupation qui obéit à une statistique différente. Pour
établir ces deux grandes classes de statistique, nous partons des expressions §4(20-22) en considérant un ensemble grand canonique constitué de systèmes Ij
possédant chacun un seul état quantique d'énergie q.
5.1. Statistique d'occupation des Fermions
Si l'on tient compte du spin, un état électronique ne peut contenir que zéro ou 1
particule. Si l'on restreint l'expression §4-(22) au système Ij et puisque les différents micro-états ne diffèrent que par le nombre de particules N et que U = N q, il
vient