Il. La physique statistique
PN(U) = QR(Uo -U,No -N)O.r,(U,N)
O.r
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(14)
Puisque chaque micro-état de .E est équiprobable, la probabilité d'apparition d'un
micro-état r vaut alors
P. (U) = PN(U) = O.R(Uo -U,No -N)
r,N
Q (UN)
Q
'f.
'
T
(15)
L'énergie du réservoir ainsi que son nombre de particules sont par définition
grands devant U et N ce qui autorise à faire un développent limité au premier ordre du numérateur de l'expression (15) ou plus astucieusement de son log. Il vient
ln[QR(Uo -U,No -N)]=ln[QR(Uo,No)]
-(oln(O.R)) u -(oln(QR)) N
oUo
No
oNo
uo
(16)
où ln[O.R(U 0 ,N 0 )] est une constante. D'autre part, puisque l'entropie du réservoir est définie par
où Tet µ caractérisent la température ainsi que le potentiel chimique du réservoir,
il vient
( oln(O.R))
= _l = /3
oUo
No KT
( oln(QR))
= _ _!!_ = -/3µ
oNo
Uo
KT
(17)
L'équation (16) vaut donc
ln[QR(Uo -U,N 0 -N)]=Cte-f3(U-µN)
(18)
ce qui conduit à
P. (U) = Ae-fl(U-µN)
r,N
(19)
Le coefficient A est défini par la condition de normalisation " N PN r = 1. On
L...ir,
,
trouve en définitive
-fJ(U-µN)
p (U) - _e _ _ _ _
N,r
- L e-fl(U-µN)
N,r
e-fl(U-µN)
z
(20)
où Z est appelée « fonction de partition » de l'ensemble grand canonique. De manière générale si une grandeur X prend la valeur X N r lorsque le système se trou,
ve dans le micro état r, alors la valeur attendue de (X) (valeur moyenne statistique) lors de toute mesure vaut