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Physique des systèmes complexes
Bien que le problème devienne franchement délicat dans le cas réel où les particules peuvent interagissent entre elles (par le biais de l'interaction électrique, par le
biais de leurs spins, etc.) et ne se résolve qu'à l'aide d'approximations, tous les
systèmes à N corps offrent des configurations quantiques discrètes sur lesquelles
les particules se distribuent. Ainsi, tout système physique réel offre un ensemble
de « configurations » possibles où les particules ne peuvent se placer que sur les
états d'énergie qui sont autorisés par le potentiel qu'elles subissent. Il existe bien
évidemment un très grand nombre de configurations possibles (de micro-états)
conduisant aux mêmes grandeurs macroscopiques. Sous l'effet de l'agitation
thermique, ces micro-états évoluent en permanence. On peut évaluer la durée de
vie d'un micro état en imaginant que, lors de la transformation d'un micro état
vers un autre, les particules voient leur énergie fluctuer d'une quantité de l'ordre
de KT. En utilisant l'inégalité d'Heisenberg M!J.t = h, il vient alors à la température ambiante !J.t = 10- 14 s. La durée nécessaire à toute mesure expérimentale est
bien évidemment supérieure à de tels laps de temps. Aussi, n'observons-nous
qu'une valeur moyenne temporelle des caractéristiques des différents micro-états.
Puisque chaque micro-état conduit au même état macroscopique, il n'existe aucune raison de penser que certains d'entre eux soient plus privilégiés que d'autres.
Aussi, le premier postulat de la physique statistique consiste à admettre
l'équiprobabilité de chaque micro-état. Si l'ensemble statistique contient un nombre total Q(état) de micro-états possibles, alors la probabilité d'apparition de
chaque micro-état que l'on repère par l'indicer vaut
P. =
1
où 1 :s; r :s; Q( état)
r
Q(état)
(11)
Considérons, maintenant un système I en interaction avec un réservoir R avec
lequel il peut échanger de l'énergie et des particules (ce qui définit un ensemble
grand canonique). Supposons que son équilibre soit caractérisé par son énergie
interne U et son nombre de particules N. La réunion du système I et du réservoir
R forment un système isolé dont l'énergie totale U o = UR + U et le nombre total
de particules N 0 = N R + N sont constants. Soit n E (U, N) le nombre de microétats équiprobables accessibles au système I lorsqu'il est dans l'état macroscopique (U, N) et n R (U 0 - U, N 0 - N) le nombre de micro-états accessibles au réservoir. Le nombre de micro-états du système total vaut
Q(U,N) = QR(Uo -U,No -N)QL(U,N)
(12)
Le nombre constant de configurations totales du système global correspond à la
somme des configurations définies par (12) pour toutes les valeurs possibles de U
etdeN
O.r = L Q(U,N)
U,N
La probabilité d'apparition d'un état défini par (U, N) est donc
(13)
Physique des systèmes complexes
Bien que le problème devienne franchement délicat dans le cas réel où les particules peuvent interagissent entre elles (par le biais de l'interaction électrique, par le
biais de leurs spins, etc.) et ne se résolve qu'à l'aide d'approximations, tous les
systèmes à N corps offrent des configurations quantiques discrètes sur lesquelles
les particules se distribuent. Ainsi, tout système physique réel offre un ensemble
de « configurations » possibles où les particules ne peuvent se placer que sur les
états d'énergie qui sont autorisés par le potentiel qu'elles subissent. Il existe bien
évidemment un très grand nombre de configurations possibles (de micro-états)
conduisant aux mêmes grandeurs macroscopiques. Sous l'effet de l'agitation
thermique, ces micro-états évoluent en permanence. On peut évaluer la durée de
vie d'un micro état en imaginant que, lors de la transformation d'un micro état
vers un autre, les particules voient leur énergie fluctuer d'une quantité de l'ordre
de KT. En utilisant l'inégalité d'Heisenberg M!J.t = h, il vient alors à la température ambiante !J.t = 10- 14 s. La durée nécessaire à toute mesure expérimentale est
bien évidemment supérieure à de tels laps de temps. Aussi, n'observons-nous
qu'une valeur moyenne temporelle des caractéristiques des différents micro-états.
Puisque chaque micro-état conduit au même état macroscopique, il n'existe aucune raison de penser que certains d'entre eux soient plus privilégiés que d'autres.
Aussi, le premier postulat de la physique statistique consiste à admettre
l'équiprobabilité de chaque micro-état. Si l'ensemble statistique contient un nombre total Q(état) de micro-états possibles, alors la probabilité d'apparition de
chaque micro-état que l'on repère par l'indicer vaut
P. =
1
où 1 :s; r :s; Q( état)
r
Q(état)
(11)
Considérons, maintenant un système I en interaction avec un réservoir R avec
lequel il peut échanger de l'énergie et des particules (ce qui définit un ensemble
grand canonique). Supposons que son équilibre soit caractérisé par son énergie
interne U et son nombre de particules N. La réunion du système I et du réservoir
R forment un système isolé dont l'énergie totale U o = UR + U et le nombre total
de particules N 0 = N R + N sont constants. Soit n E (U, N) le nombre de microétats équiprobables accessibles au système I lorsqu'il est dans l'état macroscopique (U, N) et n R (U 0 - U, N 0 - N) le nombre de micro-états accessibles au réservoir. Le nombre de micro-états du système total vaut
Q(U,N) = QR(Uo -U,No -N)QL(U,N)
(12)
Le nombre constant de configurations totales du système global correspond à la
somme des configurations définies par (12) pour toutes les valeurs possibles de U
etdeN
O.r = L Q(U,N)
U,N
La probabilité d'apparition d'un état défini par (U, N) est donc
(13)