Il. La physique statistique
"
- 1 -fI ·rp ·(r·) = E
7 rp 1 (r;) J J J
51
(5)
L'énergie totale E est donc égale à une somme de termes ne dépendant chacun
que d'une seule variable position r 1 , ce qui implique que chacun d'entre eux est
égal à une constante & J . Ceci fournit un ensemble de N équations différentielles
2
_ !!:_ 6. ·rp. (r.) = c ·rp. (r.)
2 m 1 J J
J J 1
(6)
Pour l'instant l'indice j dénomme une particule de l'ensemble. Cependant,
l'équation ( 6) montre que chaque particule possède la même équation de Schrodinger. Aussi pour trouver les états d'énergie accessibles à toutes les particules, il
suffit de résoudre la seule équation d'une particule dans un puits de potentiel infini (c'est-à-dire d'une particule restreinte à se mouvoir librement dans un volume
V de l'espace). Rappelons l'équation d'onde d'une telle particule
n2
n2 ( 82
82
82 J
--6.rp(x,y,z) = - - - 2 + - 2 + - 2 rp(x,y,z) = &rp(x,y,z)
2m
2m àx
ày
8z
(7)
Ici encore, les différents opérateurs différentiels constituant le laplacien ne couplent pas les coordonnées x, y, z et la fonction d'onde peut s'écrire sous la forme
où
rp(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)
&=&x +&y +&z
n 2 8 2 x
- - - - - & X
2m 8x2 - x
n2 82Y
----=&y
2m ay2
Y
n 2 8 2 z
- - - - - & z
2m 8z2 - z
(8)
(9)
et dont les différentes solutions seront les solutions communes à toutes les particules du gaz. L'équation (7) est l'équation d'une particule libre de se mouvoir dans
tout le volume V mais assujettie à ne pas en sortir. Les solutions sont de la forme
fPn n n (x,y,z) = (2 sin(Tmx x)sin(Tmy yJsin(Tmz z)
(lüa)
x· Y· z
-v-v L
L
L
X
y
Z
Elles sont associées aux états d'énergie discrets
n 2 tr 2 (n}; n; nI]
8 n n n = - - - + - + -
X• y• z
2m L2 L2 L2
X
y
Z
(lüb)
où n"" ny et nz sont des nombres entiers positifs. On retrouve la description des
particules d'un gaz parfait où chaque particule peut se retrouver dans un état
d'énergie défini par trois nombres quantiques.