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Physique des systèmes complexes
Rappelons que pour de tels systèmes, le potentiel thermodynamique qui détermine
l'équilibre correspond à l'énergie interne U.
- un ensemble « canonique » : ensemble statistique dans lequel chaque système est
en équilibre avec un réservoir externe d'énergie. Cela signifie que le système peut
échanger de l'énergie calorifique avec le réservoir, autrement dit, l'énergie est
alors amenée à fluctuer d'un système à l'autre de l'ensemble. Rappelons que le
potentiel thermodynamique qui détermine l'équilibre de tels systèmes correspond
à l'énergie libre F = U -TS.
- un ensemble « grand canonique » : ensemble statistique dans lequel chaque système est en équilibre avec un réservoir externe d'énergie et de particules.
L'énergie et le nombre de particules sont amenés à fluctuer d'un système à l'autre
de l'ensemble. Rappelons que le potentiel thermodynamique le mieux adapté pour
définir l'équilibre de tels systèmes est de la forme potentiel chimique des particules du réservoir. L'ensemble grand canonique est
utilisé lorsque le nombre de particules ne peut être fixé (bosons, fermions).
4.2. Micro-états quantiques
La physique quantique montre que, dès qu'une particule est assujettie à être localisée dans une région finie de l'espace, son énergie est quantifiée. Ce résultat qui
explique particulièrement bien pourquoi les atomes émettent des spectres lumineux discrets se généralise à tout système contenant N particules. Pour le montrer
simplement, considérons un gaz constitué de N particules de masse m, assujetties
à être localisées dans un volume V de l'espace. Pour retrouver la description du
gaz parfait, nous supposons que ces particules sont sans interaction. L'hamiltonien
d'un tel système n'est constitué que de la somme des énergies cinétiques de chaque particule
n2
H = L H J = L - 2m !:J. J
j
j
(1)
Nous recherchons une fonction d'onde telle que
H lfl("fi., r2 ... rN) = E lfl("fi., r2 ... rN)
(2)
Puisque l'hamiltonien ne couple pas les vecteurs r 1 , il est possible d'utiliser la
technique de séparation des variables qui permet d'exprimer la fonction d'onde de
ce problème à N corps sous la forme d'un produit de fonctions mono-particulaires
lfl("fi., r2 ... rN) = ' P1
En introduisant cette fonction dans (2), on obtient
:L [rr 'Pk(rk )JH1'P1
kcF-j
kcF-j
soit encore, après avoir divisé par lfl("fi. .Y2 ... rN)
(3)
(4)
Physique des systèmes complexes
Rappelons que pour de tels systèmes, le potentiel thermodynamique qui détermine
l'équilibre correspond à l'énergie interne U.
- un ensemble « canonique » : ensemble statistique dans lequel chaque système est
en équilibre avec un réservoir externe d'énergie. Cela signifie que le système peut
échanger de l'énergie calorifique avec le réservoir, autrement dit, l'énergie est
alors amenée à fluctuer d'un système à l'autre de l'ensemble. Rappelons que le
potentiel thermodynamique qui détermine l'équilibre de tels systèmes correspond
à l'énergie libre F = U -TS.
- un ensemble « grand canonique » : ensemble statistique dans lequel chaque système est en équilibre avec un réservoir externe d'énergie et de particules.
L'énergie et le nombre de particules sont amenés à fluctuer d'un système à l'autre
de l'ensemble. Rappelons que le potentiel thermodynamique le mieux adapté pour
définir l'équilibre de tels systèmes est de la forme potentiel chimique des particules du réservoir. L'ensemble grand canonique est
utilisé lorsque le nombre de particules ne peut être fixé (bosons, fermions).
4.2. Micro-états quantiques
La physique quantique montre que, dès qu'une particule est assujettie à être localisée dans une région finie de l'espace, son énergie est quantifiée. Ce résultat qui
explique particulièrement bien pourquoi les atomes émettent des spectres lumineux discrets se généralise à tout système contenant N particules. Pour le montrer
simplement, considérons un gaz constitué de N particules de masse m, assujetties
à être localisées dans un volume V de l'espace. Pour retrouver la description du
gaz parfait, nous supposons que ces particules sont sans interaction. L'hamiltonien
d'un tel système n'est constitué que de la somme des énergies cinétiques de chaque particule
n2
H = L H J = L - 2m !:J. J
j
j
(1)
Nous recherchons une fonction d'onde telle que
H lfl("fi., r2 ... rN) = E lfl("fi., r2 ... rN)
(2)
Puisque l'hamiltonien ne couple pas les vecteurs r 1 , il est possible d'utiliser la
technique de séparation des variables qui permet d'exprimer la fonction d'onde de
ce problème à N corps sous la forme d'un produit de fonctions mono-particulaires
lfl("fi., r2 ... rN) = ' P1
En introduisant cette fonction dans (2), on obtient
:L [rr 'Pk(rk )JH1'P1
kcF-j
kcF-j
soit encore, après avoir divisé par lfl("fi. .Y2 ... rN)
(3)
(4)