II. La physique statistique
49
N = f f(e)dxdydzdpxdp 2 dp 2 = Af e-P 212 mKT dxdydzdpxdp 2 dp 2 (1)
Cette dernière relation permet le calcul de la constante A. L'énergie totale du gaz
vaut
soit également, puisque la fonction à intégrer ne dépend pas des coordonnées spatiales
2
2
f P2 e-p /2mKT dpxdpzdPz
U = N--m ________ _
2
f e-p /2mKT dpxdpzdPz
L'utilisation des coordonnées sphériques conduit alors à
2
f p4e-p /2mKT dp
U= N
='}__NKT
2m f 2 -p 2 /2mKTd 2
p e
rp
(3)
(4)
Pour que ce résultat soit semblable à celui obtenu au chapitre 1, il suffit
d'identifier la constante K à la constante de Boltzmann K8 . Ce faisant, la température thermodynamique s'assimile à la température absolue définie par le biais du
modèle du gaz parfait.
4. L'apport de la physique quantique
4.1. L'hypothèse ergodique, ensembles statistiques
L'hypothèse ergodique fut formulée la première fois par Boltzmann en 1871 pour
établir sa théorie cinétique des gaz. Elle consiste à affirmer que la valeur moyenne
temporelle des observations que l'on peut faire sur un système qui explore, de
façon chaotique, ses configurations accessibles est identique à la moyenne statistique des observations que l'on pourrait faire instantanément sur un grand nombre
(un ensemble) de systèmes identiques et indépendants. Cette affirmation est difficile à démontrer et n'est pas forcément vraie dans tous les cas ! Cependant elle a
le mérite d'être intuitivement plausible.
Toute mesure d'une propriété physique dure nécessairement beaucoup plus longtemps que les durées qui séparent les changements de configurations chaotiques
du système étudié, si bien qu'une mesure expérimentale est en réalité proche
d'une moyenne temporelle effectuée sur un même système. Mais pour décompter
les nombres de configurations invoqués dans l'expression de l'entropie statistique,
il est beaucoup plus simple d'envisager un ensemble statistique constitué d'un très
grand nombre de systèmes identiques. Selon le problème étudié, on pourra utiliser
- un ensemble micro-canonique: ensemble de répliques fictives d'un système réel
dont l'énergie interne U, le volume V et le nombre de particules N sont fixés.
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N = f f(e)dxdydzdpxdp 2 dp 2 = Af e-P 212 mKT dxdydzdpxdp 2 dp 2 (1)
Cette dernière relation permet le calcul de la constante A. L'énergie totale du gaz
vaut
soit également, puisque la fonction à intégrer ne dépend pas des coordonnées spatiales
2
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f P2 e-p /2mKT dpxdpzdPz
U = N--m ________ _
2
f e-p /2mKT dpxdpzdPz
L'utilisation des coordonnées sphériques conduit alors à
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f p4e-p /2mKT dp
U= N
='}__NKT
2m f 2 -p 2 /2mKTd 2
p e
rp
(3)
(4)
Pour que ce résultat soit semblable à celui obtenu au chapitre 1, il suffit
d'identifier la constante K à la constante de Boltzmann K8 . Ce faisant, la température thermodynamique s'assimile à la température absolue définie par le biais du
modèle du gaz parfait.
4. L'apport de la physique quantique
4.1. L'hypothèse ergodique, ensembles statistiques
L'hypothèse ergodique fut formulée la première fois par Boltzmann en 1871 pour
établir sa théorie cinétique des gaz. Elle consiste à affirmer que la valeur moyenne
temporelle des observations que l'on peut faire sur un système qui explore, de
façon chaotique, ses configurations accessibles est identique à la moyenne statistique des observations que l'on pourrait faire instantanément sur un grand nombre
(un ensemble) de systèmes identiques et indépendants. Cette affirmation est difficile à démontrer et n'est pas forcément vraie dans tous les cas ! Cependant elle a
le mérite d'être intuitivement plausible.
Toute mesure d'une propriété physique dure nécessairement beaucoup plus longtemps que les durées qui séparent les changements de configurations chaotiques
du système étudié, si bien qu'une mesure expérimentale est en réalité proche
d'une moyenne temporelle effectuée sur un même système. Mais pour décompter
les nombres de configurations invoqués dans l'expression de l'entropie statistique,
il est beaucoup plus simple d'envisager un ensemble statistique constitué d'un très
grand nombre de systèmes identiques. Selon le problème étudié, on pourra utiliser
- un ensemble micro-canonique: ensemble de répliques fictives d'un système réel
dont l'énergie interne U, le volume V et le nombre de particules N sont fixés.