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Physique des systèmes complexes
L {ln( n J) + a + /Je J }dn J = 0
j
(8)
Cette relation devant être vérifiée quelles que soient les variations élémentaires
dnj il vient par conséquent
(9)
La constante C est obtenue par normalisation. Puisque N = L J n J , on trouve
e -/J&j
n · = N - - - -
1
I e -/3&1
j
(10)
Reste à identifier le coefficient p. Ceci peut se faire par l'intermédiaire de la définition de la température thermodynamique. En utilisant l'approximation de Stirling, l'entropie exprimée par ( 6) est approximativement donnée par
S = K{Nln(N)- 7 "J ln(n1)}
(11)
soit aussi en utilisant (9)
S=K{Nln(N)-7 n 1 (C-pc 1 )}=K{N0n(N)-C)+KP7 n 1 c 1 =Cte+K/JU(l2)
Puisque la température thermodynamique est définie par
1 (as)
r = au XJ
(13)
Il vient p = 1 /KT . En définitive
(14)
où plus simplement
f(c) = Ae-& /KT
(15)
3. Les gaz parfaits : identification de la température thermodynamique
Dans le cas des gaz parfaits, l'énergie interne n'est constituée que de l'énergie
cinétique des particules, à savoir c = p 2 / 2m. Ainsi, le nombre total de particules
est-il donné par