II. La physique statistique
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Puisqu'une particule appartenant à d'tj possède une énergie bien déterminée Ej,
l'énergie interne du système vaut
U=Lni 8 J
j
D'autre part, l'entropie du système est donnée par l'expression
S = Kln(Q)
(3)
(4)
où .Q représente le nombre de façons d'introduire nj particules dans chaque volume d;. En supposant que les particules soient discernables, il y a N façon de choisir la première particule afin de la placer dans l'un de volumes d;, N-1 façons de
choisir la seconde, etc. soit au total Nt façons de placer les particules dans les différents volumes élémentaires. Cependant, si au bout du compte, on aboutit à nj
particules dans chaque volume dfi peu importe de savoir laquelle y est entrée la
première, puis la seconde, etc. Autrement dit, dans les Nt façons de peupler les
volumes élémentaires, on a compté entre trop pour chacun d'entre eux n/ façons
de les avoir placées dans le volume d;. Ainsi le nombre .Qde façons d'obtenir
une configuration ou chaque volume d; contient nj particules vaut
Q=
N!
TI n/
j
et l'entropie associée à cette configuration est donnée par
(5)
(6)
Si l'on considère que le système est isolé, alors son énergie interne U ainsi que
son nombre de particules N sont constants. De plus, lorsque le système est à
l'équilibre, son entropie est maximum. Ainsi
dU = L & 1 dn J = 0
j
dN= L dnj =0
j
dS = -KL ln(n J )dn J = 0
j
(7a)
(7b)
(7c)
où la dernière expression a été obtenue à partir de (6) en utilisant l'approximation
de Stirling ln(n J !) = n J ln(n J )- n J. Pour que les trois relations (7) soient vérifiées simultanément, il convient d'introduire des multiplicateurs de Lagrange tels
que